中心と散らばりの指標

分布を「数値」で表す

前のレクチャーでは、ヒストグラムや累積分布図を使って、 量的変数の分布を図で確認しました。

今回は、その分布の特徴を具体的な数値で表していきます。

分布の特徴を見るとき、まず重要なのが どこを中心としているかと、 そこからどれくらい散らばっているかです。

平均で中心を表す

分布の中心を表す代表的な指標が平均です。

\(\sum\) は、指定された範囲の値を順番に足し合わせる記号です。

平均は、すべての値を使って計算します。 そのため、中央付近の値だけでなく、 中心から遠く離れた値の影響も受けます。

この性質から、平均は分布の重心と考えることができます。

一方で、極端に離れた値があると平均も引っ張られます。 偏った分布では、直感的に感じる中心と平均がずれることがあります。

分散と標準偏差で散らばりを表す

中心が同じでも、データが中心の近くに集まっている場合と、 広く散らばっている場合があります。

この散らばりの大きさを表す代表的な指標が分散です。

二乗することで、偏差のプラスとマイナスが打ち消し合うことを防げます。 また、中心から遠い値ほど大きく評価されます。

ただし、分散では元の値を二乗しているため、 単位も二乗された状態になります。

そこで、分散の平方根をとって元の単位に戻したものが 標準偏差です。

※ここでは記述統計なので \(n\) で割っています。 推測統計では \(n-1\) で割る「不偏分散」が登場します。

標準化得点で異なる変数を比較する

平均や標準偏差が異なる変数どうしは、 そのままでは値の大きさを比較しにくいことがあります。

そこで使われるのが標準化得点 \(z\)です。

変動係数でばらつきを比較する

標準偏差も、変数の単位や値の大きさが異なると、 単純には比較しにくいことがあります。

そこで使われるのが変動係数です。

平均を基準にすることで、 値の大きさや単位が異なる変数でも、 ばらつきの程度を比較しやすくなります。