時系列データの記述

時系列データとは何か

時系列データとは、 時間という変数に沿って観測されたデータです。

たとえば、毎年の出生数、毎月の売上、毎日の気温などは、 すべて時間軸をもった時系列データです。

ある時点を \(t\) とすると、 その時点で観測された値を \(y_t\) と表します。

そこから1期間後は \(t+1\)、 そのときの値は \(y_{t+1}\) です。

差と変化率で1期間の変化を見る

時系列データの変化を表す最も基本的な方法が 差です。

一方で、 「10増えた」という差だけでは、 元の値に対してどれくらい大きな変化なのかは分かりません。

そこで使うのが変化率です。

平均変化率で複数期間の変化を見る

次は、1期間ではなく、 複数期間を通した平均的な変化率を考えます。

たとえば、100だった値が 5年後に120になったとします。

ここで、 毎年同じ平均変化率 \(w\)で変化したと考えます。

1年後には元の値に \(1+w\) を掛け、 5年間ならそれを5回掛けるので、

したがって、 T期間の平均変化率は、

100から5年後に120になった例なら、

指数化して基準時点と比べる

時系列データでは、 ある時点を基準時点として、 他の時点の値を比較することもあります。

基準時点を \(s\)、 比較する時点を \(t\) とすると、 単純な指数は次のように表せます。

イメージとしては、 基準時点をモノサシの1目盛り と考えます。

実務では、 基準時点を1ではなく 100として表すことがよくあります。

ラスパイレス価格指数を理解する

ここまでは、 1つの変数を基準時点と比較してきました。

しかし物価のように、 複数の商品価格をまとめて比較したい 場合があります。

その代表的な方法が ラスパイレス価格指数です。

この式で最も大切なのは、 数量が分子も分母も \(q_0\) になっていることです。

具体例で見てみましょう。

ラスパイレスでは、 比較時点になっても 基準時点の数量 \(q_0\)を使います。

基準時点を100とするなら、

基準時点の数量を固定して使うため、 比較するたびに数量のウェイトを作り直さなくてよい、 という特徴があります。

パーシェ価格指数と比較する

ラスパイレス価格指数と並んで重要なのが、 パーシェ価格指数です。

ラスパイレスとの最大の違いは、 数量に比較時点の \(q_t\) を使うことです。

先ほどと同じデータで計算すると、

基準時点を100とすれば、 パーシェ価格指数は 114です。