確率変数

確率変数

ここからは、 確率変数と確率分布 について考えていきます。

最初に理解したいのが、 確率変数という言葉です。

たとえば、1個のサイコロを振ったときの目を \(X\) としてみましょう。

\(X\) は、 1から6までのどの値をとるのかが、 サイコロを振る前には決まっていません。

そして、それぞれの値には どれくらい起こりやすいか という確率が対応しています。

このように、 とりうる値それぞれに確率が対応している変数 を、確率変数と考えます。

確率分布を目で見る

確率変数の とりうる値と、それぞれの値が生じる確率との対応関係 を表したものが、確率分布です。

言葉だけでは少し抽象的なので、 サイコロの確率分布を実際に見てみましょう。

この図では、 横方向に確率変数 \(X\) の値、 棒の高さにそれぞれの値が生じる確率 を表しています。

今回は公平なサイコロなので、 1から6までのどの値についても、 生じる確率はすべて \(\frac16\) です。

つまり確率分布を見ると、 どの値が、どれくらい起こりやすいのか を一目で確認できます。

離散型の確率変数を理解する

確率変数には、大きく分けて 離散型と連続型 があります。

まずは離散型から見ていきましょう。

サイコロの目は、 1、2、3、4、5、6という値をとります。

つまり、 値と値の間が連続しているのではなく、 飛び飛びの値をとっています。

このような変数を、 離散型の確率変数といいます。

コイン投げも、 表と裏の間に別の結果が存在するわけではありません。

計算するときには、 たとえば表を1、裏を0のように 数字を割り当てて扱うこともできます。

連続型の確率変数を見る

一方で、連続型の確率変数は、 値と値の間にもさらに無数の値が考えられる変数です。

たとえば身長なら、 170cmと171cmの間にも、 170.1cm、170.01cm、170.001cm…というように、 細かく見ればさらに値があります。

このように、 値が連続的につながっている変数を、 連続型の確率変数といいます。

サイコロのように、 1、2、3……という1つ1つの値ごとに確率を見るのではなく、 連続型ではこのような なめらかな分布の形で考えます。

この連続型の確率分布を 数式で表すときに使うのが、 後半で学ぶ確率密度関数です。

離散型と連続型を整理する

ここまで見てきた 離散型と連続型を、 最後に並べて整理しておきましょう。

違いを見るときに重要なのは、 確率変数がどのような値をとるのかです。

ここまでが、 確率変数と確率分布を理解するための前半部分です。

次は、 こうした確率分布を数式で表す 確率関数・確率密度関数、 そして累積分布関数を見ていきます。