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母分散の比の区間推定
互いに独立な2つの正規母集団から得られた2標本を使って、母分散の比を区間推定する方法を学びます。カイ二乗分布からF分布を導き、2つの母集団のばらつきの違いを確率的に捉えていきます。
このページのゴール
2つの標本分散をカイ二乗分布・F分布と結びつけ、母分散の比 \(\sigma_y^2/\sigma_x^2\) の信頼区間を求められるようになる。
STEP 01
2つの母集団の「ばらつきの比」を推定する
このレクチャーでは、
2標本問題として
母分散の比の区間推定
を見ていきます。
母分散の比とは、
2つの母集団の
ばらつきの大きさを比べる
ためのものです。
たとえば2つの製造ライン
2つのラインの
母分散の比
を使って、
ばらつきの違いを区間で推定する
今回は、
次の母分散の比を推定していきます。
\[
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
ここでも、
これまでの区間推定と同じ
3つの手順
で考えます。
手順1
2つの標本分散を
カイ二乗分布
と結びつける
手順2
2つの値の比をとり、
F分布
が使える形にする
手順3
F分布の確率から
母分散の比の区間
をつくる
ここがポイント
2つの母集団の「ばらつき」を比較するために、
母分散の比を区間推定する。
STEP 02
互いに独立な2つの正規母集団を考える
今回も、
互いに独立な2つの正規母集団
を前提とします。
2つの母集団から、それぞれ標本を抽出する
母集団X
\[
X_1,\ldots,X_m
\sim
N(\mu_x,\sigma_x^2)
\]
サンプルサイズ \(m\)
母集団Y
\[
Y_1,\ldots,Y_n
\sim
N(\mu_y,\sigma_y^2)
\]
サンプルサイズ \(n\)
この2つの標本を使って、
母分散 \(\sigma_x^2\) と
\(\sigma_y^2\) の比を推定します。
\[
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
前提
2つの標本は、
互いに独立な正規母集団から得られている。
STEP 03
手順1：2つの標本分散をカイ二乗分布と結びつける
今回知りたいのは
母分散
です。
分散の推定といえば、
1標本問題でも使った
カイ二乗分布
を利用します。
標本Xについて、
不偏分散を
\(\hat\sigma_x^2\)
とすると、
\[
W_1
=
\frac{
(m-1)\hat\sigma_x^2
}{
\sigma_x^2
}
\sim
\chi^2(m-1)
\]
同様に、
標本Yについては、
\[
W_2
=
\frac{
(n-1)\hat\sigma_y^2
}{
\sigma_y^2
}
\sim
\chi^2(n-1)
\]
2つの標本を同じ形に整理
標本X
\[
W_1
=
\frac{(m-1)\hat\sigma_x^2}{\sigma_x^2}
\]
\[
\chi^2(m-1)
\]
標本Y
\[
W_2
=
\frac{(n-1)\hat\sigma_y^2}{\sigma_y^2}
\]
\[
\chi^2(n-1)
\]
手順1の結論
2つの標本分散を、
それぞれカイ二乗分布にしたがう形へ変換する。
STEP 04
なぜ自由度は \(m-1\)、\(n-1\) なのか
\(W_1\) と \(W_2\) の自由度が、
それぞれ
\(m-1\)、\(n-1\)
になっている点も確認しておきましょう。
標本Xについて、
母平均 \(\mu_x\) は未知なので、
ばらつきを計算するときには
標本平均 \(\bar X\)
を使います。
標本平均を使うと自由度を1つ使う
\[
\sum_{i=1}^{m}
(X_i-\bar X)=0
\]
↓
\(m\) 個の偏差のうち、自由に決められるのは \(m-1\) 個
そのため、
標本Xの偏差平方和から作られる値は
自由度 \(m-1\) のカイ二乗分布にしたがいます。
標本Yについても同様で、
標本平均 \(\bar Y\) を使うため、
自由度は \(n-1\) になります。
標本X
自由度 \(m-1\)
標本Y
自由度 \(n-1\)
ここがポイント
標本平均を使って偏差平方和を計算するため、
それぞれ自由度が1つ減る。
STEP 05
カイ二乗分布が2つあればF分布を考える
ここまでで、
2つの値
\(W_1\) と \(W_2\) が、
それぞれカイ二乗分布にしたがう形になりました。
ここで思い出したいのが
F分布
です。
F分布のつくり方
カイ二乗分布にしたがう二乗和
↓ 自由度で割る
平均平方和
↓ 2つの比をとる
F分布
つまり、
カイ二乗分布にしたがう2つの値を
それぞれの自由度で割り、
その比をとるとF分布が現れます。
\[
F
=
\frac{
W_1/(m-1)
}{
W_2/(n-1)
}
\]
F分布を思い出す
「カイ二乗分布にしたがう2つの値」
が出てきたら、
自由度で割った比＝F分布を考える。
STEP 06
手順2：母分散の比が入った形に整理する
先ほどのFの式に、
\(W_1\) と \(W_2\) を代入します。
\[
F
=
\frac{
W_1/(m-1)
}{
W_2/(n-1)
}
\]
↓ \(W_1,W_2\) を代入
\[
F
=
\frac{
\hat\sigma_x^2/\sigma_x^2
}{
\hat\sigma_y^2/\sigma_y^2
}
\]
↓ 分数を整理
\[
F
=
\frac{\hat\sigma_x^2}
{\hat\sigma_y^2}
\times
\frac{\sigma_y^2}
{\sigma_x^2}
\]
ここで重要なのは、
最終的に推定したい
\[
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
という
母分散の比
がFの式の中に入ったことです。
手順2のポイント
2つの平均平方和の比をとることで、
推定したい母分散の比を
F分布の式の中に組み込む。
STEP 07
F分布の自由度は「分子 → 分母」の順
このFは、
次のF分布にしたがいます。
\[
F
\sim
F(m-1,n-1)
\]
F分布では、
自由度の順番
が重要です。
分子
\[
\frac{W_1}{m-1}
\]
自由度 \(m-1\)
↓ 第1引数
\(F(\boxed{m-1},\,n-1)\)
分母
\[
\frac{W_2}{n-1}
\]
自由度 \(n-1\)
↓ 第2引数
\(F(m-1,\,\boxed{n-1})\)
覚え方
F分布の自由度は、
分子の自由度 → 分母の自由度
の順です。
ここがポイント
今回は
\(F(m-1,n-1)\)。
順序を逆にしないように注意する。
STEP 08
手順3：F分布の中央95%を考える
F分布にしたがう形まで整理できたので、
付表を使って具体的な確率を考えます。
信頼係数95%なら、
両端に2.5%ずつを残し、
中央95%
の区間を考えます。
F分布の中央95%
左側の境界
上側97.5%点
右側の境界
上側2.5%点
これまでと同じ
上側％点
の記法を使うと、
\[
P\left(
F_{0.975}(m-1,n-1)
\le
F
\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\right)
=
0.95
\]
％点の意味
\(F_{0.025}(m-1,n-1)\) は、
自由度 \(m-1,n-1\) のF分布で
右側の確率が2.5%
になる境界値です。
手順3のポイント
F分布は左右対称ではないので、
左右の境界値をそれぞれ付表から確認する。
STEP 09
母分散の比について不等式を整理する
ここまでで、
\[
F
=
\frac{\hat\sigma_x^2}
{\hat\sigma_y^2}
\times
\frac{\sigma_y^2}
{\sigma_x^2}
\]
と整理できています。
これをF分布の中央95%の区間に代入します。
\[
F_{0.975}(m-1,n-1)
\le
F
\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\]
↓ \(F\) を代入
\[
F_{0.975}(m-1,n-1)
\le
\frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2}
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\]
↓ 母分散の比について整理
\[
\begin{aligned}
F_{0.975}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
&\le
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\\[5pt]
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
&\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
\end{aligned}
\]
これが、
母分散の比
\(\sigma_y^2/\sigma_x^2\)
の95%信頼区間です。
最終式の構造
F分布の％点
×
標本分散の比
\[
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
\]
↓
母分散の比の信頼区間
ここがポイント
F分布の％点と標本分散の比を使って、
母分散の比の信頼区間をつくる。
STEP 10
F分布が「ばらつきの比較」に使われる理由
F分布は、
右側に長い裾をもつ
左右非対称の分布です。
F分布
平均平方和どうしの
比
がしたがう分布
2つの分散がほぼ同じなら、
その比は1に近くなります。
\[
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\approx 1
\]
一方、
2つのばらつきに大きな違いがあれば、
分散の比も1から離れていきます。
このように、
ばらつきの大きさを比で比較する場面
でF分布が重要な役割を果たします。
F分布の役割
カイ二乗分布が
「1つのばらつき」を扱うのに対して、
F分布は
「2つのばらつきの比」
を扱うときに活躍します。
最後に
2つの平均平方和の比がF分布にしたがうため、
F分布を使って母分散の比を区間推定できる。
STEP 11
母分散の比の区間推定を3つの手順で整理する
手順1
2つの標本分散をカイ二乗分布へ
\[
W_1
=
\frac{(m-1)\hat\sigma_x^2}{\sigma_x^2}
\sim\chi^2(m-1)
\]
\[
W_2
=
\frac{(n-1)\hat\sigma_y^2}{\sigma_y^2}
\sim\chi^2(n-1)
\]
↓
手順2
自由度で割った比をとる
\[
F
=
\frac{W_1/(m-1)}{W_2/(n-1)}
=
\frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2}
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
\[
F\sim F(m-1,n-1)
\]
↓
↓
\[
\begin{aligned}
F_{0.975}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
&\le
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\\[5pt]
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
&\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
\end{aligned}
\]
最後に
カイ二乗分布
→ 平均平方和
→ F分布
→ 母分散の比の信頼区間、
という流れで整理する。
SUMMARY
母分散の比の区間推定を整理する
推定対象
2つの母集団の
母分散の比
\[
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
手順1
2つの標本分散を
カイ二乗分布
にしたがう形へ整理
手順2
平均平方和の比をとって
F分布
が使える形にする
手順3
F分布の中央95%を使って
母分散の比の区間
を求める
カイ二乗分布への変換
\[
W_1
=
\frac{(m-1)\hat\sigma_x^2}{\sigma_x^2}
\sim\chi^2(m-1)
\]
\[
W_2
=
\frac{(n-1)\hat\sigma_y^2}{\sigma_y^2}
\sim\chi^2(n-1)
\]
F分布への変換
\[
F
=
\frac{W_1/(m-1)}{W_2/(n-1)}
=
\frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2}
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\]
\[
F\sim F(m-1,n-1)
\]
母分散の比の95%信頼区間
\[
\begin{aligned}
F_{0.975}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
&\le
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
\\[5pt]
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
&\le
F_{0.025}(m-1,n-1)
\frac{\hat\sigma_y^2}{\hat\sigma_x^2}
\end{aligned}
\]
特に注意する3点
① 2つの母集団は互いに独立な正規母集団
② F分布の自由度は「分子 → 分母」の順
③ F分布は左右非対称なので、左右の％点をそれぞれ確認する
最後に
1つの分散ならカイ二乗分布、
2つの分散の比ならF分布。
「二乗和を自由度で平均したものの比」が
F分布にしたがうことを軸に理解する。
NEXT STEP
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