一元配置分散分析の概要

一元配置分散分析は「1つの質的変数」の影響を見る

このレクチャーでは、 一元配置分散分析 の全体像を確認します。

一元配置分散分析では、 1つの質的変数が、 被説明変数 \(y\) をどの程度説明できるかを考えます。

そして、 質的変数がとるそれぞれの値を、 分散分析では 水準 と呼びます。

まずは一元配置データの記号を確認する

一元配置分散分析では、 独特な添え字を使ってデータを表すことがあります。

まずは、 記号の意味を整理しておきましょう。

水準は \(A_1,A_2,\ldots,A_a\) と表し、 全部で \(a\) 個の水準があると考えます。

また、 水準 \(A_j\) に含まれるデータ数を \(n_j\) と表します。

\(y_{ji}\) の2つの添え字を読む

一元配置分散分析では、 各観測値を

と表します。

このレクチャーでは、 2つの添え字を次のように使います。

ドットは「その添え字を全部まとめる」イメージ

平均には、 ドット \(\cdot\) が入った記号が登場します。

たとえば、

賃貸住宅の例に置き換えてみる

記号だけではイメージしづらいので、 賃貸住宅を例に考えてみましょう。

ここでは、 被説明変数 \(y\) を 家賃 とします。

そして、 家賃を説明する質的変数として 部屋の向き を考えます。

記号と賃貸住宅の例を対応させる

ここまで対応関係を整理できれば、 一元配置分散分析のデータ構造がかなり見やすくなります。

一元配置分散分析では「ばらつき」を分解する

ここからが、 一元配置分散分析の中心です。

まず、 各部屋の家賃 \(y_{ji}\) は、 全体平均 \(\bar y_{\cdot\cdot}\) からずれています。

この 全体平均からのズレ を、 2つのズレに分けて考えます。

この分解が、 このあと平方和を分解する考え方のもとになります。

総平方和 \(S_T\)：もともとの \(y\) 全体のばらつき

まず、 すべての観測値について 全体平均からのズレを二乗して足したものが、 総平方和 です。

水準間平方和 \(S_A\)：水準によって説明できるばらつき

次に、 各水準の平均と 全体平均の差に注目します。

各水準の平均が 全体平均から大きく離れているほど、 \(S_A\) は大きくなります。

賃貸住宅の例なら、 部屋の向きによって平均家賃がどれくらい違うか を表す平方和です。

水準内平方和 \(S_e\)：水準では説明できなかったばらつき

同じ水準の中でも、 個々の観測値は 水準平均と完全には一致しません。

その水準内に残ったばらつきを表すのが、 水準内平方和 です。

回帰分析でいう 残差平方和 に対応するイメージです。

総平方和は「水準間＋水準内」に分解できる

ここまでの3つの平方和をまとめると、

したがって、 一元配置分散分析では、 \(S_A\) が大きいほど、 水準の違いによって \(y\) を説明できている と考えます。

一元配置分散分析のモデルを確認する

最後に、 一元配置分散分析が前提としているモデルを確認します。

それぞれの項の意味は、

誤差には正規性・独立性・共通の分散を仮定する

一元配置分散分析では、 モデルの誤差 \(\varepsilon_{ji}\) について、

と考えます。

この誤差の仮定を土台として、 次のレクチャーでは、 水準による効果が本当に認められるかを 仮説検定していきます。