12
事象と確率
確率を学ぶ最初の一歩は、「何が起こるのか」を事象として整理することです。このレクチャーでは、サイコロを例に、試行・事象・全事象を理解し、「または」「かつ」の確率をどのように計算するのかを図から考えます。
このページのゴール
試行・事象・全事象の意味を理解し、ベン図を使って和事象・積事象と確率の加法定理を説明できるようになる
STEP 01
試行と事象を理解する
確率統計では、
試行と事象という考え方が土台になります。
試行とは、
結果が偶然に左右される実験や観測のことです。
たとえば、
「サイコロを1回振る」という行為が1つの試行です。
このような起こりうる結果をまとめたものを
事象として考えます。
たとえば、
「3以下の目が出る」という事象を \(A\) とすれば、
また、
「2が出る」のように1つだけの結果からなる事象は、
根元事象と呼ばれます。
試行
サイコロを1回振る
根元事象
「2が出る」など、1つの結果からなる事象
事象
「3以下」など、結果をまとめた集合
ここがポイント
試行によって起こりうる結果を、
集合としてまとめたものが事象
STEP 02
全事象と空事象を図で見る
1回のサイコロ投げで起こりうる結果は、
1から6までのすべての目です。
この起こりうるすべての結果を集めたものを
全事象と呼びます。
全事象は標本空間とも呼ばれ、
\(\Omega\) という記号で表します。
\[
\Omega
=
\{1,2,3,4,5,6\}
\]
ここで、
とすると、次のようなベン図で表すことができます。
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(A\)：3以下
\(B\)：偶数
「2」は \(A\) にも \(B\) にも含まれています。
また、
結果を1つも含まない事象を
空事象と呼びます。
\(\varnothing\)
何も結果を含まない事象
ここがポイント
全事象 \(\Omega\) は起こりうるすべての結果、
空事象 \(\varnothing\) は何も結果を含まない事象
STEP 03
確率の基本ルールを理解する
事象を使って、
その起こりやすさを数値で表したものが確率です。
事象 \(A\) が起こる確率は、
\(P(A)\) と表します。
① 確率は0以上1以下
\[
0\le P(A)\le1
\]
確率0は「起こらない」、
確率1は「必ず起こる」ことに対応します。
② 全事象の確率は1
\[
P(\Omega)=1
\]
サイコロなら、
1から6のどれかの目は必ず出るので、
全事象の確率は1です。
③ 重ならない事象なら、そのまま足せる
\[
P(A\cup B)
=
P(A)+P(B)
\]
ただし、この式をそのまま使えるのは、
\(A\) と \(B\) が互いに排反な場合です。
「互いに排反」とは、
2つの事象がまったく重ならないことです。
ここがポイント
互いに排反なら、
「AまたはB」の確率はそのまま足し算できる
STEP 04
「または」と「かつ」を理解する
確率では、
複数の事象を組み合わせて考えることがあります。
特に重要なのが、
「または」と「かつ」です。
AまたはB ＝ 和事象
\(A\cup B\)
Aに入るか、Bに入るか、その両方に入る結果
AかつB ＝ 積事象
\(A\cap B\)
AにもBにも入っている重なりの部分
サイコロの例では、
\[
A=\{1,2,3\}
\]
\[
B=\{2,4,6\}
\]
なので、
AにもBにも入るのは「2」だけです。
\[
A\cap B=\{2\}
\]
ここがポイント
\(A\cup B\) ＝ AまたはB
\(A\cap B\) ＝ AかつB
STEP 05
重なりがあるときの確率を考える
AとBが互いに排反なら、
それぞれの確率をそのまま足すことができました。
では、
AとBに重なりがある場合はどうでしょうか。
AとBをそのまま足すと…
\(A=\{1,2,3\}\)
＋
\(B=\{2,4,6\}\)
↓
1, 2, 3,
2, 4, 6
「2」を2回数えてしまう
そこで、
一度重複して数えた
\(A\cap B\) の部分を
1回だけ引きます。
Aを数える
＋
Bを数える
−
重なりを1回戻す
これが、
重なりのある事象にも使える
確率の加法定理です。
ここがポイント
重なりがある場合は、
二重に数えた \(A\cap B\) を1回引く
STEP 06
サイコロで加法定理を計算する
最後に、
これまで使ってきたサイコロの例で
実際に計算してみましょう。
事象 A：3以下
\[
A=\{1,2,3\}
\]
\[
P(A)=\frac{3}{6}
\]
事象 B：偶数
\[
B=\{2,4,6\}
\]
\[
P(B)=\frac{3}{6}
\]
AかつB
\[
A\cap B=\{2\}
\]
\[
P(A\cap B)=\frac{1}{6}
\]
これを加法定理に代入します。
\[
P(A\cup B)
=
P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\]
\[
=
\frac36
+
\frac36
–
\frac16
\]
\[
=
\frac56
\]
集合で見ても同じ
AまたはBに入るのは
1・2・3・4・6の5個です。
3個 ＋ 3個 − 重複1個
＝ 5個
ここがポイント
\[
P(A\cup B)
=
\frac56
\]
「または」の確率は、
重なりを二重に数えないようにする
SUMMARY
事象と確率を整理する
全事象
起こりうるすべての結果 \(\Omega\)
試行
↓
起こりうる結果を事象として整理
↓
事象の起こりやすさを確率で表す
最後に
「または」と「かつ」を集合で理解すると、
この先の条件付き確率も理解しやすくなる
NEXT STEP
次のステップ：統計検定®2級を目指す
このサイトで統計学の基礎を学んだあと、
統計検定®2級の合格まで体系的に学びたい方へ。
統計検定®2級対策講座【ベストセラー版】
約9時間の動画講義と200問以上の小テストに加えて、
模擬試験にも取り組めます。
講座内ではQ&Aも利用でき、
これまでに400問以上の質問に回答してきました。
約9時間の動画講義
200問以上の小テスト
模擬試験
400問以上のQ&A
統計検定®2級対策講座を見る
資格試験ではなく、統計学そのものを動画で学びたい方へ
記述統計・確率・推定・検定を基礎から学ぶ
「統計学ベーシック講座その１『確率分布・推定・検定』」
も用意しています。
統計学ベーシック講座を見る →