標本分布①

標本から計算した値にも「分布」がある

前のレクチャーでは、標本平均 \(\bar{X}\) の期待値や分散を確認しました。

ここからは、標本から計算される値そのものが どのような確率分布にしたがうのか を見ていきます。

このように、標本から計算された統計量がしたがう確率分布を、 標本分布といいます。

このあと推測統計では、標準正規分布、カイ二乗分布、 \(t\) 分布、\(F\) 分布などを使って、 区間推定や仮説検定を行っていきます。

正規分布を標準化する

まず出発点として、平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の 正規分布にしたがう確率変数 \(X\) を考えます。

この \(X\) から平均 \(\mu\) を引き、 標準偏差 \(\sigma\) で割ると、 標準化された確率変数 \(Z\) が得られます。

標準化すると、もとの平均や標準偏差の違いが取り除かれ、 \(Z\) は平均0・分散1の標準正規分布にしたがいます。

\(Z\) を2乗して足すと何ができる？

次に、標準正規分布にしたがう確率変数 \(Z_1,Z_2,\ldots,Z_n\) を考えます。

これらをそれぞれ2乗し、すべて足し合わせた値を \(W\) とします。

\(Z\) の平均は0です。 そのため \(Z^2\) は、 平均0からの偏差の2乗とみることができます。

偏差の2乗は、分散を考えるときに登場した量でした。

そのため、カイ二乗分布は、 分散やばらつきに関する推測で重要な役割を果たします。

カイ二乗分布のパラメータは「自由度」

\(Z_1,\ldots,Z_n\) が互いに独立に標準正規分布にしたがうとき、

は、自由度 \(n\) のカイ二乗分布にしたがいます。

ここで \(n\) は、二乗して足し合わせた \(Z\) の個数を表しています。

このように、「自由に値をとれる量がいくつあるか」を表す数を 自由度と呼びます。

今回は \(Z_1,\ldots,Z_n\) がそれぞれ自由に値をとれるため、 自由度は \(n\) です。

ただし、推測統計では条件によって自由に決められない値が生じ、 自由度が単純なサンプルサイズとは一致しない場合があります。 これは後のレクチャーで詳しく扱います。

自由度が大きいと分布はどう変わる？

カイ二乗分布には、正規分布とはかなり違う特徴があります。

さらに重要なのが、 自由度によって分布の形や位置が変わる という点です。

自由度が大きくなるということは、 二乗して足し合わせる \(Z_i^2\) の個数が増えるということです。

カイ二乗分布の期待値と分散は、自由度 \(n\) を使って、

たとえば、自由度3なら期待値は3、 自由度10なら期待値は10です。

図を見ると、自由度10の分布でも右側の裾は残っています。 ただし、自由度3と比べると歪みは小さくなり、山の位置も右へ移っています。

つまり、 自由度が増えるほど分布の中心は右へ移り、形も少しずつ変わる とイメージしておきましょう。