06
偏相関係数
相関係数が大きくても、2つの変数が直接関係しているとは限りません。
ここでは、第3の変数の影響を取り除いて2変数の関係を見る「偏相関係数」を整理します。
このページのゴール
相関係数の注意点と、偏相関係数が「第3の変数の影響を除いた相関」を表す意味を説明できるようになる
STEP 01
相関係数の3つの注意点
前のレクチャーでは、2つの量的変数のばらつき方の関係を
相関係数で表しました。
ただし、相関係数を解釈するときには、
大きく3つの点に注意する必要があります。
① 相関関係 ≠ 因果関係
相関
\(x \leftrightarrow y\)
≠
相関係数は2変数のばらつき方の関係を表しているだけで、
一方がもう一方の原因であることまでは意味しません。
② 非線形な関係を捉えにくい
強い関係があっても、直線では表せない場合があります。
相関係数は、点が直線的に並ぶ関係を見る指標です。
放物線のような非線形の関係は、
強い関係があっても相関係数に表れにくいことがあります。
③ 見かけ上の相関があり得る
xとyが関係しているように見えても、
実は第3の変数zが両方に影響している場合があります。
ここがポイント
相関係数が大きいだけでは、
因果関係や直接的な関係があるとは言えない
STEP 02
見かけ上の相関を考える
第3の変数によって生まれる見かけ上の相関を、
擬相関と呼ぶことがあります。
代表的な例として、
夏のアイスの売上と電力消費量を考えてみましょう。
気温
\(z\)
アイス
売上
\(x\)
電力
消費量
\(y\)
↓
↓
見かけ上の相関
気温が上がることで、
アイスの売上と電力消費量の両方が増えている可能性があります。
アイスの売上と電力消費量には、
見かけ上は正の相関が見えるかもしれません。
しかし実際には、
気温が上がることでアイスの売上も電力消費量も増えている
可能性があります。
この場合、xとyの相関の一部は、
第3の変数zとの関係によって生じていることになります。
ここがポイント
xとyの相関の背後に、
両方と関係する第3の変数zが隠れていることがある
STEP 03
第3の変数の影響を取り除く
そこで使われるのが偏相関係数です。
偏相関係数では、
xとyの関係について、
第3の変数zとの関係を調整したうえで見ていきます。
\(x\)
\(y\)
\(z\)
\(r_{xy}\)
↔
\(r_{xz}\)
↘
\(r_{zy}\)
↙
イメージとしては、
xとyの元の関係 \(r_{xy}\) をそのまま見るのではなく、
xとz、yとzの関係を考慮して調整するということです。
元の相関
\(x \leftrightarrow y\)
zとの関係を
調整していない
→
偏相関
\(x \leftrightarrow y\)
zとの関係を
調整したあと
偏相関係数は英語で
partial correlation と呼ばれます。
partialには「部分的な」という意味があり、
xとyの関係のうち、
zと関係する部分を切り分けて考える
イメージです。
ここがポイント
偏相関係数は、
第3の変数zとの関係を調整したうえでxとyの関係を見る
STEP 04
偏相関係数の式を読む
zとの関係を調整したxとyの偏相関係数は、
次の式で計算されます。
一見すると複雑ですが、
分子と分母に分けて見ると意味をつかみやすくなります。
① 分子を見る
\(r_{xy}-r_{xz}r_{zy}\)
xとyの元の相関について、
zとの線形な関係を考慮して調整する
イメージです。
② 分母を見る
\[
\sqrt{1-r_{xz}^{2}}
\sqrt{1-r_{zy}^{2}}
\]
xやyのうち、
zとの線形な関係では説明されない残った部分を基準にして、
分子を調整します。
分子
zとの関係を考慮して、
xとyの関係を調整する
分母
zとの関係を除いたあとに残る部分を基準にして調整する
ここがポイント
偏相関係数は、
zとの関係を調整したうえでxとyの線形な関係を表す
SUMMARY
偏相関係数を整理する
偏相関係数
第3の変数との関係を調整して2変数を見る
最後に
相関係数を見る
↓
第3の変数の影響を疑う
↓
必要に応じて偏相関係数で調整する
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