モーメント

モーメントとは何か

前のレクチャーでは、 確率変数の期待値と分散を学びました。

ここでは、その考え方をさらに広げた モーメントを見ていきます。

モーメントでは、 確率変数 \(X\) を1乗、2乗、3乗……したものについて、 その期待値を考えます。

つまりモーメントは、 確率分布のさまざまな特徴を、べき乗と期待値によって捉える考え方 です。

1次のモーメントは平均

まず、 \(k=1\) の場合を考えてみましょう。

\(X^1\) は \(X\) そのものなので、 これは前のレクチャーで学んだ 期待値です。

つまり、 モーメントという新しい言葉が出てきても、 まったく別のものを学んでいるわけではありません。

期待値そのものが、1次のモーメント です。

中心モーメントを理解する

モーメントにはもう一つ、 中心モーメントがあります。

通常のモーメントでは \(X\) をそのまま使いますが、 中心モーメントでは 平均 \(\mu\) からの偏差 \(X-\mu\) を使います。

平均 \(\mu\) を引くということは、 分布の中心を0に移してから考える ということです。

次数ごとに何を表すのか見てみましょう。

3次の中心モーメントから歪度を見る

3次の中心モーメントは、

分布が 左右のどちらに歪んでいるか を捉えるもとになります。

3乗では、 左側の負の偏差は負のまま、 右側の正の偏差は正のままです。

さらに3乗することで、 平均から遠く離れた値ほど強く影響 します。

そのため、 左右どちらの裾が長く伸びているのかが、 3次の中心モーメントに反映されます。

4次の中心モーメントから尖度を見る

次は、 4次の中心モーメントです。

4乗すると符号はすべて正になり、 さらに 平均から遠く離れた値が非常に強く反映 されます。

この4次の中心モーメントを、 分散の大きさで標準化したものが 尖度です。

この定義では、 正規分布の尖度は 3です。

「尖度」という名前から、 山の頂点の尖り具合だけを見る指標に思えるかもしれません。

しかし、4乗を使っていることから分かるように、 特に重要なのは 平均から遠い値や、分布の裾の影響 です。

正規分布よりも、 平均から遠い部分に確率が残りやすい分布では、 4次の偏差が大きくなりやすく、 尖度も大きくなる傾向があります。

なお、 正規分布の値を0にするため、 3を引いた 超過尖度を使うこともあります。

この定義なら、 正規分布の超過尖度は0です。 問題では、どちらの定義を使っているのか確認しましょう。

次数によって何が見えるのか

最後に、 中心モーメントの次数を上げると 何が変わるのかを整理しておきましょう。

このように考えると、 3次や4次という数字にも意味があります。

モーメントという言葉だけを見ると難しく感じますが、 平均や分散も含めて、 確率分布の特徴を次数ごとに捉えている と考えると整理しやすくなります。