離散型確率分布②

後半で学ぶ2つの分布を見通す

前のレクチャーでは、 ベルヌーイ分布と二項分布 を学びました。

後半では、 ポアソン分布と幾何分布 を見ていきます。

今回も最も重要なのは、 「何を確率変数 \(X\) としているのか」 です。

ポアソン分布とは何か

まずは、 ポアソン分布です。

ポアソン分布は、 ある事象が 一定の割合で、互いに独立に発生すると考えられるとき、 一定期間に何回発生するかを表す分布です。

その一定期間における 平均発生回数を \(\lambda\) と表します。

たとえば、 ある交差点で交通事故が 1か月に平均1.5回 発生するとします。

発生の仕方をポアソン分布で表せると考えるなら、 次の1か月に事故が 0回、1回、2回……と何回発生するかという確率変数 \(X\) を、 ポアソン分布で考えることができます。

ここで重要なのは、 \(\lambda\) が 一定期間における平均発生回数 を表していることです。

ポアソン分布を式で整理する

ポアソン分布は英語で Poisson distribution といいます。

分布の形を決めるパラメータは、 平均発生回数を表す \(\lambda\) です。

確率関数は、

この式でまず押さえておきたいのは、 分布の形を決めるパラメータが \(\lambda\) だけ だということです。

ポアソン分布では、 期待値と分散がともに \(\lambda\) になります。

さらに、 ポアソン分布は 前のレクチャーで学んだ二項分布とも 深くつながっています。

イメージとしては、 「1回ではめったに起こらないことを、たくさん観測する」 状況です。

このように、 試行回数 \(n\) が大きく、 成功確率 \(p\) が小さい二項分布では、 平均成功回数

とおくことで、 ポアソン分布によって近似できます。

幾何分布とは何か

最後に、 幾何分布を見ていきます。

幾何分布でも、 成功確率 \(p\) のベルヌーイ試行を繰り返します。

ただし、 二項分布とは 何を数えているのか が違います。

たとえば、 成功確率 \(p\) の試行を繰り返して、 3回目に初めて成功したとします。

このように、 初めて成功するまでの試行回数 \(X=1,2,3,\ldots\) が幾何分布にしたがいます。

幾何分布を式とグラフで理解する

\(x\) 回目に 初めて成功する 確率を考えてみましょう。

\(x\) 回目で初めて成功するためには、 その前の \(x-1\) 回を すべて失敗している必要があります。

この2つを掛け合わせると、 幾何分布の確率関数になります。

幾何分布は英語で geometric distribution といいます。

分布の形を決めるパラメータは、 成功確率 \(p\) です。

たとえば \(p=0.2\) なら、 次のような分布になります。

なぜ、 右へ進むほど棒が低くなるのでしょうか。

たとえば、

このように、 1回遅くなるたびに \(1-p\) がもう1つ掛かるため、 確率は少しずつ小さくなっていきます。

期待値と分散も確認しておきましょう。

期待値 \(\frac1p\) は、 直感的にも理解しやすい式です。

4つの離散型確率分布を整理する

ここまでで、 4つの代表的な離散型確率分布を学びました。

最後に、 何を確率変数 \(X\) としているのか を軸に整理してみましょう。