母分散の比の仮説検定

互いに独立な2つの正規母集団から得られた2標本を使って、2つの母分散が等しいかどうかを検定します。標本の不偏分散をカイ二乗分布に結びつけ、さらにF分布を使って、母分散の比に関する帰無仮説を検証します。

このページのゴール

2つの母分散について帰無仮説を設定し、2つの標本の不偏分散からF検定統計量を導き、その実現値が棄却域に入るかどうかから帰無仮説を判断できるようになる。

STEP 01

2つの母集団のばらつきに違いがあるかを検定する

このレクチャーでは、 2標本問題の仮説検定として、 母分散の比の検定 を見ていきます。

たとえば、同じ製品を製造する2つのラインについて、製品の重さの ばらつきに違いがあるか を考えるような場面です。

2つの製造ラインのばらつきを比較

ラインX

母分散 \(\sigma_x^2\)

ラインY

母分散 \(\sigma_y^2\)

2つの母分散が等しければ、

\[ \frac{\sigma_x^2}{\sigma_y^2}=1 \]

となります。

逆に、 2つの母分散に大きな違いがあれば、この比は1から離れていきます。

今回のテーマ

2つの母分散が等しいかどうかを、標本分散の比から検定する。

STEP 02

手順0：母分散が等しいという帰無仮説を立てる

前提として、 互いに独立な2つの正規母集団 を考えます。

仮説検定なので、まず帰無仮説と対立仮説を設定します。

帰無仮説

\[ H_0: \sigma_x^2=\sigma_y^2 \]

対立仮説

\[ H_1: \sigma_x^2\neq\sigma_y^2 \]

帰無仮説は、母分散の比で表せば、

\[ H_0: \frac{\sigma_x^2}{\sigma_y^2}=1 \]

と同じ意味です。

今回は、「Xの方が大きい」「Yの方が大きい」と方向を限定せず、 等しくない という両側検定で考えます。

手順0

「2つの母分散に差がない」＝「母分散比が1」を帰無仮説にする。

STEP 03

手順1：2つの標本分散をカイ二乗分布と結びつける

1つ目の正規母集団からサンプルサイズ \(m\) の標本Xを、 2つ目の正規母集団からサンプルサイズ \(n\) の標本Yを抽出します。

\[ X_1,\ldots,X_m \sim N(\mu_x,\sigma_x^2) \]

\[ Y_1,\ldots,Y_n \sim N(\mu_y,\sigma_y^2) \]

今回知りたいのは 母分散 なので、それぞれの標本から計算した 不偏分散 を使って考えます。

標本Xの不偏分散を \(\hat\sigma_x^2\)、標本Yの不偏分散を \(\hat\sigma_y^2\) とすると、

\[ \hat\sigma_x^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m}(X_i-\bar X)^2 \]

\[ \hat\sigma_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2 \]

この不偏分散を使って、それぞれを カイ二乗分布にしたがう形 に整理します。

\[ W_1 = \frac{ (m-1)\hat\sigma_x^2 }{ \sigma_x^2 } \sim \chi^2(m-1) \]

\[ W_2 = \frac{ (n-1)\hat\sigma_y^2 }{ \sigma_y^2 } \sim \chi^2(n-1) \]

つまり、標本から計算した不偏分散を母分散で基準化した値が、それぞれカイ二乗分布にしたがう、ということです。

手順1

標本X・Yから計算した不偏分散 \(\hat\sigma_x^2,\hat\sigma_y^2\) を使って、 2つの値をそれぞれカイ二乗分布にしたがう形へ整理する。

STEP 04

なぜ自由度は \(m-1\)、\(n-1\) なのか

\(W_1\) と \(W_2\) の自由度が、それぞれ \(m-1\)、\(n-1\) となっている点も確認しておきましょう。

標本Xについて、母平均 \(\mu_x\) は未知なので、偏差を計算するときには 標本平均 \(\bar X\) を使います。

標本平均を使うと自由度を1つ使う

\[ \sum_{i=1}^{m} (X_i-\bar X)=0 \]

↓

\(m\) 個の偏差のうち、自由に決められるのは \(m-1\) 個

そのため、 X側では自由度 \(m-1\)、 Y側では自由度 \(n-1\) となります。

標本X
自由度 \(m-1\)

標本Y
自由度 \(n-1\)

STEP 05

手順2：2つのカイ二乗統計量からF分布へ

カイ二乗分布にしたがう2つの値が出てきました。

ここで思い出したいのが F分布 です。

カイ二乗分布からF分布へ

\(W_1\sim\chi^2(m-1)\)

\(W_2\sim\chi^2(n-1)\)

↓ それぞれ自由度で割る

平均平方和

↓ 比をとる

F分布

具体的には、

\[ F = \frac{ W_1/(m-1) }{ W_2/(n-1) } \]

とします。

\(W_1,W_2\) を代入すると、

\[ F = \frac{ \hat\sigma_x^2/\sigma_x^2 }{ \hat\sigma_y^2/\sigma_y^2 } \]

さらに整理して、

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \times \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \]

手順2

2つの平均平方和の比をとることで、母分散比を含むF統計量が現れる。

STEP 06

帰無仮説によって母分散比が1になる

ここが、区間推定との大きな違いです。

母分散比の区間推定では、

\[ \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \]

が未知のまま式の中に残っていました。

しかし仮説検定では、帰無仮説として

\[ H_0: \sigma_x^2=\sigma_y^2 \]

と仮定しています。

したがって、

\[ \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}=1 \]

となります。

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \times \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \]

↓ 帰無仮説のもとでは母分散比＝1

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \]

そして、

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \sim F(m-1,n-1) \]

となります。

仮説検定ならでは

\(H_0:\sigma_x^2=\sigma_y^2\) によって母分散比が1となり、検定統計量は不偏分散の比だけになる。

STEP 07

F分布の自由度は「分子 → 分母」の順

今回のF統計量は、

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \]

です。

このとき、 F分布の自由度は、 分子側 → 分母側 の順に並びます。

分子：標本X
自由度 \(m-1\)

↓ 第1自由度

\(F(\boxed{m-1},\,n-1)\)

分母：標本Y
自由度 \(n-1\)

↓ 第2自由度

\(F(m-1,\,\boxed{n-1})\)

覚え方
F分布では、分子の自由度が先、分母の自由度が後です。

STEP 08

手順3：F分布の両端を棄却域にする

検定統計量がF分布にしたがう形まで整理できたので、あとは棄却域を設定します。

ここでは、有意水準を

\[ \alpha=0.05 \]

とします。

対立仮説は

\[ H_1: \sigma_x^2\neq\sigma_y^2 \]

なので、両側検定です。

F分布の左右2.5%を棄却域にする

上側％点の記法では、左側の境界は

\[ F_{0.975}(m-1,n-1) \]

右側の境界は

\[ F_{0.025}(m-1,n-1) \]

となります。

\[ F \le F_{0.975}(m-1,n-1) \] または \[ F \ge F_{0.025}(m-1,n-1) \]

となる領域が棄却域です。

手順3

F分布は左右非対称なので、左右それぞれの境界値を付表から確認する。

STEP 09

Fの実現値を計算して棄却域と比較する

最後に、実際の標本データから 2つの不偏分散を計算します。

そして、 F検定統計量の実現値

\[ F_{\mathrm{obs}} = \frac{ \hat\sigma_x^2 }{ \hat\sigma_y^2 } \]

\(F_{\mathrm{obs}}\) は、実際の標本データから計算した F検定統計量の実現値 を表します。

この実現値が、左右いずれかの棄却域に入るかを確認します。

棄却域に入る
→ \(H_0:\sigma_x^2=\sigma_y^2\) を棄却

棄却域に入らない
→ 帰無仮説 \(H_0\) を棄却しない

判定

不偏分散の比 \(F_{\mathrm{obs}}\) が極端に小さい、または極端に大きいなら、「母分散は等しい」という帰無仮説を棄却する。

STEP 10

区間推定と仮説検定の違いを整理する

ここまでの内容は、母分散の比の 区間推定 と非常によく似ています。

使っているF分布も、途中までの式も同じです。

区間推定

母分散比 \[ \frac{\sigma_x^2}{\sigma_y^2} \] がどの区間にあるかを求める

仮説検定

\[ H_0: \frac{\sigma_x^2}{\sigma_y^2}=1 \] と仮定し、標本の不偏分散比がその世界で極端かを見る

つまり、仮説検定では、帰無仮説によって 母分散比を1に固定できる ことが大きな違いです。

共通点と違い

区間推定も仮説検定もF分布を使う。
仮説検定では、「母分散比＝1」という世界を仮定して、標本の不偏分散比の極端さを判断する。

STEP 11

母分散の比の検定を4つの手順で整理する

手順0

帰無仮説を設定 \[ H_0: \sigma_x^2=\sigma_y^2 \]

↓

手順1

2つの不偏分散をカイ二乗分布へ

\[ W_1 = \frac{(m-1)\hat\sigma_x^2}{\sigma_x^2} \sim\chi^2(m-1) \] \[ W_2 = \frac{(n-1)\hat\sigma_y^2}{\sigma_y^2} \sim\chi^2(n-1) \]

↓

手順2

F検定統計量へ変換

\[ F = \frac{\hat\sigma_x^2}{\hat\sigma_y^2} \sim F(m-1,n-1) \]

↓

手順3

F分布の両側に棄却域を設定し、 \(F_{\mathrm{obs}}\) と比較

最後に

「2つのカイ二乗統計量」が出てきたらF分布。

帰無仮説によって母分散比が1となるため、最終的な検定統計量は不偏分散の比だけになる。

SUMMARY