散布図と共分散・相関係数

散布図を平均から見る

2つの量的変数の関係を図で表したものが 散布図です。

散布図を見るときのポイントは、 それぞれの変数の平均を基準に考えることです。

それぞれの点について、 xの平均からどれくらい離れているか、 yの平均からどれくらい離れているかを見ます。

偏差の積を「面積」で考える

ある点について、 xの平均との差を横の長さ、 yの平均との差を縦の長さとして考えてみます。

xとyがともに平均から大きく離れているほど、 この面積も大きくなります。

つまり、2変数のばらつき方が強く“共鳴”しているほど、 面積が大きくなると考えられます。

共分散で共鳴を数値化する

各データについて計算した 「xの偏差 × yの偏差」をすべて平均したものが 共分散です。

STEP02で見たように、 \((x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\) は、 散布図では横の偏差 × 縦の偏差でできる 「符号付きの面積」と考えることができます。

ここで重要なのが、 点が平均を境にした4つの象限のどこにあるかです。

したがって、右上・左下に大きな面積が多く集まれば、 プラスの値が蓄積されて共分散は正になります。

反対に、左上・右下に大きな面積が多く集まれば、 マイナスの値が蓄積されて共分散は負になります。

4つの象限にまんべんなく点が散らばる場合には、 プラスとマイナスの面積が打ち消し合います。 そのため、共分散は0に近づきます。

ちなみに、xとx自身の共分散を考えると、 次のようになります。

※ここでは記述統計として、データ数 \(n\) で割る共分散を扱っています。 推測統計では、分散と同様に \(n-1\) で割る 不偏共分散も登場します。

相関係数で単位の影響をなくす

共分散には弱点があります。 それは、変数の単位や値の大きさに依存することです。

そこで、共分散を標準化したものが 相関係数です。

標準偏差の積で割ることで、 xとyのばらつきの大きさに左右されず、 相関係数は-1から+1の範囲で表されます。

なぜ相関係数の最大値は1なのか

相関係数が1になる最も分かりやすい例は、 xとx自身の相関を考えることです。

xとxの共分散 \(s_{xx}\) は、 xの分散 \(s_x^2\) でした。

一方、分母も、 \[ s_xs_x=s_x^2 \] です。

同じ変数どうしなら、 ばらつき方は完全に一致します。 そのとき相関係数が1になるわけです。

相関係数と散布図を対応させる

相関係数の値が変わると、 散布図の見え方も変わります。

0.8や0.9のように絶対値がかなり大きくなると、 点から「線」をイメージできるほど、 対角線上に並んで見えるようになります。

また、相関係数は次のようにも表せます。