ベイズの定理

ベイズの定理は「結果から原因」を考える

前のレクチャーでは、 条件付き確率を学びました。

ベイズの定理は、その条件付き確率を使って、 ある結果が起きたあとで、その原因についての確率を考える ための定理です。

ここでは、3つの工場 \(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\) のいずれかで製造された製品を考えます。

そして、製品が 故障した という結果を事象 \(A\) とします。

通常は、 「\(B_1\) 工場で作られたとき、故障する確率」 のように、 原因から結果を考えます。

ベイズの定理で知りたいのは、その逆です。

30個の製品で状況を整理する

具体例で考えていきましょう。

全体で30個の製品があり、 3つの工場 \(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\) で それぞれ10個ずつ製造されているとします。

また、各工場で作られた製品が故障する確率を、 次のように仮定します。

この状況を、 30個の製品そのもので見てみましょう。

故障した6個だけの世界を見る

では、 実際に故障した製品が1個見つかったとします。

この製品がどの工場で作られたものなのか、 という確率を考えたいわけです。

「故障した」という条件が分かっているので、 前の条件付き確率と同じように、 故障した製品だけの世界に絞ります。

故障した6個のうち、 \(B_1\) 工場で製造されたものは1個です。

つまり、この例では公式を知らなくても、 故障した6個だけを見れば答えが分かる ことになります。

ベイズの定理の式を読む

ここまでの考え方を、 ベイズの定理の式で確認します。

まず条件付き確率は、

ここで分子の \(P(A\cap B_1)\) に乗法定理を使うと、

したがって、 次のベイズの定理が得られます。

一見すると複雑ですが、 それぞれが何を表しているかを見ると理解しやすくなります。

今回の例では、

したがって、

事前確率から事後確率へ更新する

ベイズの定理では、 事前確率と事後確率 という言葉が重要です。

今回の例では、 故障したという情報を得る前には、 3つの工場から同じ数だけ製造されています。

結果を見る前には \(B_1\) の確率は \(\frac13\) でした。

ところが、 「故障した」という新しい情報 を得ると、 \(B_1\) の確率は \(\frac16\) に変わります。

このように、 新しい情報を使って確率を更新することが、 ベイズの定理の重要な考え方です。

表を使ってベイズの定理を確認する

ベイズの定理で混乱したときは、 具体的な個数を表に整理すると分かりやすくなります。

今回の30個の製品を表にすると、 次のようになります。

この表を見ると、 条件付き確率の向きの違いも分かります。

同じ左上の「1」を使っていますが、 条件が違えば分母となる世界も変わります。

ベイズの定理の式を理解したうえで、 このような表に整理できると、 実際の問題でもかなり扱いやすくなります。