連続型確率分布

連続型確率分布の見方を確認する

ここでは、 代表的な連続型確率分布を 見ていきます。

前のレクチャーで扱った離散型では、 \(X=0,1,2,\ldots\) のように、 確率変数が飛び飛びの値をとりました。

一方、連続型では、 長さ・時間・重さなどのように、 値と値の間にも無数の値が存在します。

今回は、 一様分布・正規分布・指数分布 の3つを整理します。

一様分布を理解する

最初に見るのが、 一様分布です。

一様分布では、 区間 \([a,b]\) の中で 確率密度が一定 になっています。

区間 \([a,b]\) の中では高さが一定なので、 確率密度関数は

では、 なぜ区間内の高さが \(\frac{1}{b-a}\) になるのでしょうか。

連続型確率分布では、 確率密度関数の下の面積全体が1 になる必要があります。

一様分布では、 区間 \([a,b]\) の中が一定の高さなので、 分布全体は長方形になります。

したがって、 高さ \(h\) について解けば、

となります。

つまり、 区間の幅が広くなるほど高さは低くなり、 区間の幅が狭くなるほど高さは高くなる わけです。

この例では、 \(a=-1,\;b=1\) なので、 区間の幅は

です。 したがって、 確率密度の高さは

となり、 幅2、高さ \(\frac12\) の長方形なので、 全体の面積は1になります。

一様分布は英語で uniform distribution といいます。

パラメータは、 区間の両端を表す \(a\) と \(b\) です。

期待値が \(\frac{a+b}{2}\) になるのは、 一様な長方形のちょうど中央が 分布の中心になると考えると分かりやすいでしょう。

正規分布を理解する

次に見るのが、 統計学で非常に重要な 正規分布です。

正規分布は英語で normal distribution といいます。

多数の小さなランダムな影響が積み重なるような現象では、 正規分布に近い形が現れることがあります。

また、後で学ぶ中心極限定理によって、 一定の条件のもとでは、 多数の確率変数の和や平均の分布が 正規分布に近づいていくことが知られています。

正規分布の形を決めるのは、 平均 \(\mu\)と 分散 \(\sigma^2\) の2つです。

まず、 平均 \(\mu\) を変えるとどうなるでしょうか。

一方、 分散 \(\sigma^2\) を変えると、 分布の広がりが変化します。

この式をそのまま暗記する必要はありません。

重要なのは、 分布ごとに変化するパラメータが \(\mu\) と \(\sigma^2\) だということです。

標準正規分布へ変換する

正規分布の中でも、 特に重要なのが 標準正規分布です。

標準正規分布とは、 平均0、分散1 の正規分布です。

一般の正規分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) は、次の変換によって標準正規分布へ変えることができます。

まず、 \(X\) から平均 \(\mu\) を引くことで、 分布の中心を0へ移します。

次に、 標準偏差 \(\sigma\) で割ることで、 ばらつきの尺度を1へそろえます。

実際に期待値を確認すると、

また、標準偏差は

なので、分散も

となります。

この標準化は、 このあとの区間推定や仮説検定でも 繰り返し使う重要な考え方です。

指数分布を理解する

最後に見るのが、 指数分布です。

指数分布は、 ある事象が一定の割合で発生するとき、 次の発生までどれくらい時間がかかるか を表す分布です。

ここで思い出したいのが、 前のレクチャーで学んだ ポアソン分布です。

ポアソン分布では 発生回数を数えましたが、 指数分布では 発生までの待ち時間を考えます。

\(\lambda\) は、 単位時間あたりの平均発生回数 を表します。

指数分布は英語で exponential distribution といいます。

たとえば、 \(\lambda=0.5\) の指数分布は 次のような形になります。

\(x=0\) のとき、 確率密度は

となります。

つまり、 待ち時間が短いところほど確率密度が高く、 待ち時間が長くなるほど確率密度は小さくなる という形です。

また、 指数分布は前に学んだ 幾何分布とも似た役割を持っています。

指数分布の期待値と分散は、

たとえば、 1時間に平均2回発生するなら、 \(\lambda=2\) なので、 次の発生までの平均待ち時間は \(\frac12\) 時間です。

3つの連続型確率分布を整理する

最後に、 今回学んだ3つの分布を 何を表しているのか という視点で整理しましょう。