標本分布②

\(Z\) とカイ二乗分布から \(t\) をつくる

まずは \(t\) 分布から見ていきましょう。

前のレクチャーでは、 標準正規分布にしたがう \(Z\) と、 自由度 \(m\) のカイ二乗分布にしたがう \(W\) を確認しました。

この \(Z\) と \(W\) が互いに独立であるとき、 次のような比を考えます。

この \(t\) が、 自由度 \(m\) の \(t\) 分布にしたがいます。

つまり \(t\) 分布は、 前のレクチャーで登場した 標準正規分布とカイ二乗分布を組み合わせてつくられる分布 です。

なぜ \(t\) は \(Z\) に似ている？

\(t\) 分布は、標準正規分布によく似た形をしています。

その理由を理解するために、 \(t\) の分母にある

に注目してみましょう。

カイ二乗分布では、

なので、

となります。

さらに、自由度 \(m\) が大きくなるほど、 \(W/m\) は1の近くに安定しやすくなります。

つまり、自由度が大きくなるほど、

の分母が1に近づき、 \(t\) は \(Z\) に近い値をとるようになります。

\(t\) 分布は標準正規分布より裾が厚い

自由度が小さい \(t\) 分布は、 標準正規分布とよく似ていますが、まったく同じではありません。

自由度3の \(t\) 分布では、 標準正規分布よりも山が低く、 左右の裾が厚くなっています。

つまり \(t\) 分布では、 標準正規分布よりも 0から離れた値が現れやすい ということです。

\(t\) 分布の期待値は、\(m>1\) のとき

分散は、\(m>2\) のとき

となります。

たとえば自由度3なら、

です。 標準正規分布の分散1よりも大きく、 裾が厚くなることとも対応しています。

平均平方和を比べると \(F\) 分布になる

最後に、\(F\) 分布を見ていきましょう。

前のレクチャーで、 カイ二乗分布にしたがう \(W\) は、 標準正規分布にしたがう値の二乗和でした。

\(F\) 分布では、 この平均平方和を2つ用意して、その比を考えます。

\(W_1\) と \(W_2\) が互いに独立で、

とすると、

この \(F\) が、

という \(F\) 分布にしたがいます。

\(F=1\) を基準にばらつきを比べる

\(F\) 分布は、カイ二乗分布と同じく 0以上の値だけをとります。

\(F\) は「ばらつきの大きさの比」なので、 2つのばらつきに大きな違いがなければ、 比は1付近の値をとりやすい と考えることができます。

一方、分子側のばらつきが分母側よりかなり大きければ、 \(F\) も大きな値になります。

\(F\) 分布は、0から始まり、右側に長い裾をもつ分布です。

実際に計算された \(F\) が1よりかなり大きければ、 「2つのばらつきは本当に同じと考えてよいのか？」 という疑問につながります。

この考え方は、後の仮説検定で重要になります。