付表の見方

付表は4種類ある

区間推定や仮説検定では、 確率分布の確率や 境界となる値を調べるために、 付表を使います。

この講座で使う付表は、 次の4種類です。

ただし、 4つの表はすべて同じ読み方ではありません。

標準正規分布表は「Zから確率を探す」

まずは、 標準正規分布表です。

この付表では、 横軸の値 \(u\) に対応する 上側確率を調べます。

表の左側では \(u\) の小数第1位まで、 表の上側では 小数第2位を探します。

実際の付表でも、 \(u=0.01\) に対する上側確率は \(0.4960\) です。

標準正規分布では左右対称を利用する

標準正規分布は 0を中心に左右対称 です。

そのため、 付表には基本的に正の \(u\) だけが掲載されています。

たとえば、 \(u=-0.01\) よりも下側の確率を知りたい場合には、 絶対値をとった \(u=0.01\) の上側確率を見ればよいことになります。

区間推定で頻繁に使う \(u=1.96\) については、 左側の1.9と上側の.06をクロスすると、 上側確率 \(0.0250\) と読めます。

t分布表は「自由度と \(\alpha\) から t を探す」

次は、 t分布表です。

標準正規分布表との大きな違いは、 表の中に確率ではなく t の値が入っている ことです。

たとえば、 自由度20のt分布について、 上側確率5%となる境界を知りたい場合には、

カイ二乗分布表も「自由度と \(\alpha\) から探す」

カイ二乗分布表の基本的な読み方は、 t分布表とよく似ています。

たとえば自由度20のカイ二乗分布で、 上側確率5%点を探すと、

なぜカイ二乗表には 0.99 がある？

カイ二乗分布表を見ると、 表頭に \(0.99\)、\(0.975\)、\(0.95\) といった大きな上側確率も並んでいます。

これは、 カイ二乗分布が 左右対称ではない からです。

「上側99%点」ということは、 その値より右側に99%の確率が残る点です。

逆から見れば、 その値より左側には1%しかない ということになります。

ここで重要なのは、 「上側99%点」という表現が、 右側に99%の確率が残る境界 を意味していることです。

したがって、 同じ境界を左側から見れば、 下側に1%だけ確率が残る点 と考えることができます。

正規分布やt分布なら左右対称なので、 片側の境界がわかれば、 もう片側は符号を変えることで求められます。

しかしカイ二乗分布は左右非対称なので、 左側の境界も別に調べる必要があります。

そのため、 カイ二乗分布表には \(0.99\)、\(0.975\)、\(0.95\) といった大きな上側確率も用意されています。

F分布は自由度が2つある

最後は、 F分布表です。

F分布で最も注意したいのは、 自由度が2つある ことです。

また、 今回のF分布表は、 上側確率 \(\alpha=0.05\) と \(\alpha=0.025\) が別々に用意されています。

たとえば、 分子の自由度が5、 分母の自由度が20、 上側確率が5%なら、

F分布の左側の境界はどう求める？

F分布もカイ二乗分布と同じように、 左右対称ではありません。

そのため、 右側の境界がわかったからといって、 符号を変えるだけで左側の境界を求めることはできません。

しかも今回の付表には、 上側確率 \(0.05\) や \(0.025\) の表はありますが、 上側確率 \(0.95\) や \(0.975\) の表はありません。

この「左側5%の境界」は、 上側確率で表現すると 上側95%点です。

ところが、 付表には上側95%点が載っていません。

そこで使うのが、 F分布の逆数の性質です。

ここがポイントです。

もとのF分布で とても小さい値を考えているとき、 その逆数は とても大きい値 になります。

つまり、 もとのF分布の左側5%問題を、 逆数を使って別のF分布の右側5%問題に変換できる ということです。

これを式で表すと、

です。

左辺の \(F_{0.95}(\nu_1,\nu_2)\) は、 もとのF分布の上側95%点、 つまり左側に5%だけ残る境界です。

右辺では、 自由度の順番を \(\nu_1,\nu_2\) から \(\nu_2,\nu_1\) に入れ替え、 付表にある 上側5%点 を読み、 最後に逆数をとっています。

4つの付表を見分ける

最後に、 4種類の付表の違いを 一気に整理しておきましょう。