32
母平均の区間推定
ここでは、1つの正規母集団の母平均 \(\mu\) を、標本から区間で推定する方法を見ていきます。母分散が既知の場合と未知の場合を分けて、区間推定の3STEPで整理します。
このページのゴール
正規母集団の母平均について、母分散が既知か未知かに応じて、95%信頼区間を3STEPで整理できるようになる。
STEP 01
1標本問題とは何か
ここで扱うのは、
1つの母集団についての区間推定です。
具体的には、
1つの母集団から標本を取り出して、
その標本の情報を使って
母平均 \(\mu\)
を区間で推定します。
1標本問題のイメージ
知りたいのは
母平均 \(\mu\)
\(\bar{X}\)
を計算して
\(\mu\)
を推定
私たちが知りたいのは、
母集団そのものの平均である
母平均 \(\mu\)
です。
しかし、
母集団のすべてを調べることは難しいため、
その一部を標本として抽出し、
標本から計算できる
標本平均 \(\bar{X}\)
を使って母平均を推定します。
点推定
母平均 \(\mu\) を1つの値で推定する
区間推定
母平均 \(\mu\) を幅をもった区間で推定する
今回はさらに、
母集団が
平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布
にしたがうと仮定します。
今回の前提
\[
X\sim N(\mu,\sigma^2)
\]
この正規母集団の母平均 \(\mu\) を推定する
そして、
母平均の区間推定では、
母分散 \(\sigma^2\) が既知か未知か
によって、使う分布が変わります。
母分散が既知
\(\sigma^2\) がわかっている
母分散が未知
\(\sigma^2\) がわからない
ここがポイント
1つの正規母集団の母平均 \(\mu\) を、
1つの標本から区間推定する。
その際、母分散が既知か未知かを最初に確認する。
STEP 02
母分散が既知のとき：まず何がどんな分布にしたがうか
まず、
母分散 \(\sigma^2\) が
既知
の場合を見ていきます。
前提は、
母集団が
平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布
にしたがうことです。
\[
X\sim N(\mu,\sigma^2)
\]
この正規母集団から得られた標本
\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)
も、それぞれ同じ正規分布にしたがいます。
正規母集団から標本をとる
\[
X_1,X_2,\ldots,X_n
\sim
N(\mu,\sigma^2)
\]
↓ 平均を計算
\[
\bar{X}
=
\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}
\]
標本平均 \(\bar{X}\) は、
正規分布の再生性により、
やはり正規分布にしたがいます。
ただし、
もとの母集団とまったく同じ分布になるわけではありません。
もとの母集団と標本平均の分布
どちらも中心は
\(\mu\)
図を見ると、
どちらの分布も
中心は同じ \(\mu\)
です。
一方で、
標本平均の分布は、
もとの母集団よりも
ばらつきが小さく、細い分布
になっています。
もとの母集団
平均
\(\mu\)
分散
\(\sigma^2\)
標本平均の分布
平均
\(\mu\)
分散
\(\sigma^2/n\)
つまり、
標本平均 \(\bar{X}\) は、
\[
\bar{X}
\sim
N\left(
\mu,
\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
という正規分布にしたがいます。
これは、
標本平均の期待値と分散で確認した、
平均は変わらない
\[
E[\bar{X}]=\mu
\]
分散は \(n\) 分の1になる
\[
V[\bar{X}]
=
\frac{\sigma^2}{n}
\]
という性質と対応しています。
手順1
正規母集団から得られた標本平均は、
中心は \(\mu\) のまま、
分散が \(\sigma^2/n\) に小さくなった正規分布にしたがう。
STEP 03
母分散が既知のとき：標準化して信頼区間を作る
手順1で、
標本平均 \(\bar{X}\) がどんな分布にしたがうかを整理できました。
次はその分布を、
付表のある標準正規分布
に合わせるために、
標準化
を行います。
\[
Z=
\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
\sim N(0,1)
\]
つまり、
標本平均 \(\bar{X}\) から
平均 \(\mu\) を引いて、
さらに
標準偏差 \(\sigma/\sqrt{n}\) で割る
ことで、
標準正規分布にしたがう \(Z\) に変形する、ということです。
標準化のイメージ
図では、灰色の標本平均の分布を、
赤い 標準正規分布 \(N(0,1)\)
に対応づけるイメージを表しています。
ここまでが、
区間推定の手順2です。
ここまでできれば、
次は標準正規分布の付表を用いて、
具体的な確率
を考えます。
95%を真ん中に集める
真ん中に95%を集めると、
左右の端には
2.5%ずつ
残ります。
したがって、
信頼係数を95%とするときには、
標準正規分布の
上側2.5%点
を使うことになります。
\[
P(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2})=0.95
\]
ここに、
先ほどの標準化した式
\[
Z=
\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
\]
を代入して、
母平均 \(\mu\) について整理すると、
信頼区間が求まります。
\[
\bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\le
\mu
\le
\bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
これが、
母分散既知の場合の
母平均 \(\mu\) の信頼区間
です。
ここでの注意
信頼係数が95%のとき、
外側に残る確率は合計5%です。
その5%は左右に分かれるので、
付表で探すのは
5%点ではなく上側2.5%点
です。
手順2・手順3の要点
手順2では標本平均を標準化して付表が使える形にする。
手順3では上側 \(\alpha/2\) 点を使って、
母平均 \(\mu\) の信頼区間を求める。
STEP 04
正規母集団の前提が置けないときはどうするか
ここで、
「そもそも母集団が正規分布といえるのか」
という疑問が出てきます。
たしかに、
いま見てきた方法は、
手順1で
\(\bar{X}\)
がどんな分布にしたがうかを整理できることが前提です。
前提が置けるかどうか
正規母集団といえる
そのまま区間推定の手法を使える
正規母集団といえないが、標本サイズが十分大きい
中心極限定理により、標本平均は近似的に正規分布にしたがう
正規母集団ともいえず、標本サイズも小さい
いま見ている区間推定の手法は使いにくい
もし母集団の分布が不明でも、
標本サイズが十分に大きければ、
中心極限定理
によって、
標本平均は近似的に正規分布にしたがうと考えられます。
\[
\bar{X}\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
\qquad
(n\text{ が十分大きいとき})
\]
一方で、
母集団の分布もわからず、
しかも標本サイズも小さい場合には、
手順1の整理が難しくなるため、
今回の方法はそのままでは使えません。
補足
区間推定では、
まず「標本平均がどんな分布にしたがうか」を整理できるかが重要。
STEP 05
母分散が未知のとき：なぜ t 分布を使うのか
ここからは、
母分散 \(\sigma^2\) が
未知
の場合を考えます。
母分散が未知の場合も、
手順1までは母分散が既知の場合と同じです。
\[
\bar{X}
\sim
N\left(
\mu,
\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
問題になるのは、
手順2の標準化
です。
母分散が既知なら、
\[
Z=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\sigma/\sqrt{n}}
\sim N(0,1)
\]
と標準化できますが、
母分散が未知の場合には、
母標準偏差 \(\sigma\) の具体的な値がわかりません。
そこで、
標本から計算できる
不偏分散
を使って母分散を推定します。
不偏分散
\[
\hat{\sigma}^2
=
\frac{1}{n-1}
\sum_{i=1}^{n}
(X_i-\bar{X})^2
\]
したがって、
\(\sigma\) の代わりに、
不偏分散から計算される
\(\hat{\sigma}\)
を使った、
\[
T=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\]
という統計量を考えます。
では、
なぜこの \(T\) が t 分布にしたがうのでしょうか。
ここで、
標本分布のレクチャーで見た
カイ二乗分布
を思い出してみましょう。
カイ二乗分布は「偏差の二乗和」の分布
\[
Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_m^2
\sim
\chi^2(m)
\]
\(Z\) は平均0・分散1なので、
\(Z^2\) は「平均0からの偏差の二乗」
不偏分散の式にも、
よく似たものがあります。
不偏分散の分子
\[
\sum_{i=1}^{n}
(X_i-\bar{X})^2
\]
標本平均 \(\bar{X}\) からの
偏差平方和
つまり、
これも
偏差を二乗して足し合わせたもの
です。
さらに、
この偏差を母標準偏差 \(\sigma\) で標準化すると、
\[
\sum_{i=1}^{n}
\left(
\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}
\right)^2
\]
となります。
これは、
標準化された偏差の
二乗和
ですから、
まさにカイ二乗分布につながる形です。
ただし自由度は \(n\) ではなく \(n-1\)
偏差は \(n\) 個ある
でも
\[
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})=0
\]
↓
自由に決められる偏差は \(n-1\) 個
したがって、
正規母集団では、
この標準化された偏差平方和が
自由度 \(n-1\) のカイ二乗分布
にしたがいます。
\[
\sum_{i=1}^{n}
\left(
\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}
\right)^2
\sim
\chi^2(n-1)
\]
ここまでわかれば、
標本分布のレクチャーで見た
t分布の定義
につながります。
t分布の定義
分子
標準正規分布にしたがう \(Z\)
÷
分母
カイ二乗分布を自由度で割ったものの平方根
↓
\[
\frac{Z}{\sqrt{W/m}}
\sim t(m)
\]
今回は、
分子側に
標準正規分布にしたがう標本平均の標準化があり、
分母側に
自由度 \(n-1\) のカイ二乗分布につながる偏差平方和
があります。
そのため、
t分布の定義に当てはめると、
\[
T=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\sim t(n-1)
\]
と整理できます。
つまり、
「母分散が未知だからt分布を使う」と丸暗記するのではなく、
偏差平方和からカイ二乗分布が現れ、
それを標準正規分布と組み合わせると
t分布の定義になる
と理解しておくとよいでしょう。
詳細：数式でt分布になることを確認する
標本平均を母標準偏差で標準化すると、
\[
Z=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\sigma/\sqrt{n}}
\sim N(0,1)
\]
一方、
標準化された偏差平方和を
\[
W=
\sum_{i=1}^{n}
\left(
\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}
\right)^2
\]
とおくと、
正規母集団では
\[
W\sim\chi^2(n-1)
\]
となります。
また、
不偏分散の定義から、
\[
\hat{\sigma}^2
=
\frac{1}{n-1}
\sum_{i=1}^{n}
(X_i-\bar{X})^2
\]
なので、
\[
\frac{W}{n-1}
=
\frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}
\]
となります。
t分布の定義
\[
\frac{Z}
{\sqrt{W/(n-1)}}
\sim t(n-1)
\]
に代入すると、
\[
\frac{
\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
}{
\sqrt{
\dfrac{\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}
}
}
\]
となり、
分母を整理すると、
\[
\frac{\bar{X}-\mu}
{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\sim
t(n-1)
\]
と確認できます。
※厳密には、正規母集団では
標本平均と偏差平方和が独立である、
という性質も使っています。
t分布は、
標準正規分布によく似ていますが、
自由度が小さいほど
裾が厚い
分布になります。
標準正規分布とt分布
母標準偏差 \(\sigma\) そのものではなく、
標本から推定した
\(\hat{\sigma}\)
を使っている分だけ、
不確実性が増えている
とイメージするとよいでしょう。
手順2のポイント
母分散が未知なら、
不偏分散から求めた \(\hat{\sigma}\) を使う。
偏差平方和からカイ二乗分布が現れ、
それを標準正規分布と組み合わせることで、
自由度 \(n-1\) のt分布につながる。
STEP 06
母分散が未知のとき：t分布で信頼区間を作る
前のブロックで、
母分散が未知のときには
\[
T=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\sim t(n-1)
\]
という統計量が、
自由度 \(n-1\) のt分布
にしたがうことを確認しました。
したがって、
母分散が未知の場合は、
標準正規分布ではなく、
t分布の付表
を使って信頼区間を作ります。
ここからは、
区間推定の手順3です。
考え方自体は、
母分散が既知の場合と同じです。
まずは、
t分布の真ん中に
95%
を集める区間を考えます。
t分布でも中央95%を考える
\[
P\left(
-\,t_{\alpha/2}(n-1)
\le T \le
t_{\alpha/2}(n-1)
\right)
=0.95
\]
信頼係数が95%なら、
外側に残る確率は合計5%です。
したがって左右に分けて、
2.5%ずつ
になります。
ここで出てくる
\(t_{\alpha/2}(n-1)\)
は、
自由度 \(n-1\) のt分布における上側 \(\alpha/2\) 点
です。
これは、
標準正規分布で使った
\(z_{\alpha/2}\)
と
同じ意味合い
を持っています。
つまり、
その値より右側の確率が \(\alpha/2\)
になる境界です。
標準正規分布のとき
\[
z_{\alpha/2}
\]
標準正規分布の上側 \(\alpha/2\) 点
t分布のとき
\[
t_{\alpha/2}(n-1)
\]
自由度 \(n-1\) のt分布の上側 \(\alpha/2\) 点
では、
なぜt分布を使うと、
標準正規分布を使う場合よりも
信頼区間が少し長くなる
のでしょうか。
なぜ区間が少し長くなるのか
灰色の曲線：標準正規分布
赤色の曲線：t分布
灰色の矢印：標準正規分布で中央95%を集める区間
青色の矢印：t分布で中央95%を集める区間
灰色の縦線：標準正規分布の境界
赤色の縦線：t分布の境界
t分布は標準正規分布よりも裾が厚いので、
同じ95%を真ん中に集めるには、
より外側まで区間を広げる必要があります。
したがって、
t分布を使う場合の信頼区間は、
標準正規分布を使う場合よりも
少し長くなる
ことになります。
あとは、
\(T\)
の式を使って、
母平均 \(\mu\) について不等式を整理すればよいです。
\[
P\left(
-\,t_{\alpha/2}(n-1)
\le
\frac{\bar{X}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\le
t_{\alpha/2}(n-1)
\right)
=0.95
\]
これを
\(\mu\)
について解くと、
\[
\bar{x}
–
t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\le
\mu
\le
\bar{x}
+
t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\]
これが、
母分散未知の場合の母平均の信頼区間
です。
ここでの注意
\(t_{\alpha/2}(n-1)\) は、
標準正規分布の \(z_{\alpha/2}\) と同じく、
上側 \(\alpha/2\) 点
という意味です。
ただし、
使う分布がt分布であること、
そして
自由度 \(n-1\)
が必要である点に注意しましょう。
手順3のポイント
母分散が未知ならt分布の付表を使う。
\(t_{\alpha/2}(n-1)\) は
自由度 \(n-1\) のt分布の上側 \(\alpha/2\) 点であり、
t分布は裾が厚いので、
信頼区間は標準正規分布の場合より少し長くなる。
STEP 07
信頼係数95%は固定ではない
ここまでは、
信頼係数を
95%
として説明してきました。
ただし、
信頼係数は必ず95%とは限りません。
90%信頼区間
\(\alpha=0.10\)、左右に5%ずつ
95%信頼区間
\(\alpha=0.05\)、左右に2.5%ずつ
99%信頼区間
\(\alpha=0.01\)、左右に0.5%ずつ
したがって、
実際の問題では、
信頼係数が何%か
を必ず確認する必要があります。
試験での注意
90%、95%、99%では、
付表から探す上側％点が変わります。
まず
\(\alpha\) を求める、
そして
\(\alpha/2\)
を使う、
という順で整理すると混乱しにくくなります。
補足
信頼係数が変われば、
使う \(z_{\alpha/2}\) や
\(t_{\alpha/2}(n-1)\) も変わる。
SUMMARY
母平均の区間推定を整理する
1つの正規母集団について、
標本から
母平均 \(\mu\)
を区間推定する流れを整理しましょう。
手順1
まず
標本平均がどんな分布にしたがうか
を整理する
標本平均
正規母集団なら
\[
\bar{X}
\sim
N\left(
\mu,
\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
母分散
既知
\(\sigma\) がわかるので、
標準正規分布
を使う
母分散
未知
\(\sigma\) の代わりに
不偏分散から求めた \(\hat{\sigma}\)
を使い、
t分布
を使う
自由度
不偏分散では、
偏差平方和の自由度が
\(n-1\)
となる
手順2｜付表が使える形にする
母分散が既知
\[
Z=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\sigma/\sqrt{n}}
\sim N(0,1)
\]
母分散が未知
\[
T=
\frac{\bar{X}-\mu}
{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}
\sim t(n-1)
\]
なぜ母分散未知では t分布？
標本平均を標準化すると
標準正規分布
＋
不偏分散の
標準化された偏差平方和
はカイ二乗分布
↓
t分布の定義につながる
手順3｜確率から区間を決める
中央
95%
↓
外側は合計
5%
↓ 左右に分ける
\(z_{\alpha/2}\)
標準正規分布の
上側 \(\alpha/2\) 点
\(t_{\alpha/2}(n-1)\)
自由度 \(n-1\) の t分布の
上側 \(\alpha/2\) 点
母平均の信頼区間
母分散が既知
\[
\bar{x}
–
z_{\alpha/2}
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\le
\mu
\le
\bar{x}
+
z_{\alpha/2}
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
母分散が未知
\[
\bar{x}
–
t_{\alpha/2}(n-1)
\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\le
\mu
\le
\bar{x}
+
t_{\alpha/2}(n-1)
\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\]
既知と未知の最大の違い
母分散が未知のときは、
\(\sigma\) を標本から推定する分だけ不確実性が増えます。
そのため、
裾の厚い t分布
を使い、
同じ信頼係数なら区間もやや広くなります。
最後に
手順1で標本平均の分布を整理し、
手順2で付表が使える形に変形し、
手順3で確率から母平均の信頼区間を求める。
母分散が既知なら標準正規分布、
未知なら自由度 \(n-1\) の t分布を使う。
NEXT STEP
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