母分散の区間推定

母分散を区間推定する

前のレクチャーでは、 1つの母集団について 母平均 \(\mu\) の区間推定を考えました。

今回は、 母集団のばらつきを表す 母分散 \(\sigma^2\) を区間で推定します。

たとえば、 工場で製造される製品の重さについて、 平均だけでなく どの程度ばらついているのか を把握したい場合があります。

そのような場面で使うのが、 母分散の区間推定です。

母分散の区間推定も3つの手順で考える

母分散の区間推定も、 これまでと同じ 3つの手順 で考えていきます。

今回のポイントは、 ばらつきとカイ二乗分布をどう結びつけるか です。

手順1：カイ二乗分布につながる値を考える

正規母集団

から得られた観測値 \(X_i\) を標準化すると、

となります。

ここで、 今回推定したいのは ばらつきを表す \(\sigma^2\) です。

ばらつきと関係の深い標本分布として、 以前学んだ カイ二乗分布 を思い出しましょう。

手順2：標本平均からの偏差平方和を使う

ただし、 実際には母平均 \(\mu\) は未知です。

そのため、 \(X_i-\mu\) をそのまま計算することはできません。

そこで、 母平均 \(\mu\) の代わりに、 標本から計算できる 標本平均 \(\bar{X}\) を使って、

という 標本平均からの偏差平方和 を考えます。

この偏差平方和を 母分散 \(\sigma^2\) で割ると、

となります。

正規母集団では、 この統計量 \(W\) が 自由度 \(n-1\) のカイ二乗分布 にしたがいます。

なぜ自由度は \(n-1\) なのか

手順2では、 正規母集団から得られた標本について、

という統計量を使うことを確認しました。

ここで注意したいのが、 カイ二乗分布の 自由度 です。

標本は \(n\) 個あるにもかかわらず、 自由度は \(n\) ではなく \(n-1\) になります。

標本平均 \(\bar{X}\) を使うと、 \(n\) 個の偏差の合計は必ず0になります。

そのため、 \(n\) 個すべてを自由に決めることはできず、 本当に自由に動ける偏差は \(n-1\) 個 です。

このことが、 \(W\) がしたがうカイ二乗分布の自由度 \(n-1\) につながっています。

手順3：カイ二乗分布の中央95%を考える

ここまでで、

と整理できました。

ここからは、 カイ二乗分布の付表を使って、 \(W\) が入る確率の高い区間を考えます。

その前に、 カイ二乗分布で使う 「上側％点」 の意味を確認しておきましょう。

つまり、 \(z_{\alpha}\)、 \(t_{\alpha}(n-1)\)、 \(\chi^2_{\alpha}(n-1)\) は、 使っている分布は違いますが、

「その境界値より右側に残る確率が \(\alpha\)」 という意味では同じです。

では、 信頼係数95%の場合を考えます。

したがって、 カイ二乗分布でも、 中央95%を残すために 左右に2.5%ずつ を残します。

ここで、 カイ二乗分布では1つ注意があります。

カイ二乗分布は 左右対称ではありません。

そのため、 標準正規分布や t分布のように、 右側の境界値にマイナスを付ければ 左側の境界値になる、 とは考えられません。

左右それぞれの境界値を、 カイ二乗分布の付表から 別々に確認する必要があります。

95%信頼区間なら、 \(\alpha/2=0.025\) なので、

つまり、 上側％点という言葉だけを見ると少し複雑ですが、

「その境界より右側に何％残るのか」

と考えれば、 zやtの％点と同じ意味だと理解できます。

\(W\) の区間から母分散 \(\sigma^2\) の区間へ

ここまでで、 自由度 \(n-1\) のカイ二乗分布を使って、 \(W\) の中央 \(1-\alpha\) の区間を

と表せることを確認しました。

ここで、 この式に登場するカイ二乗の記号を、 もう一度整理しておきましょう。

では、 母分散 \(\sigma^2\) の区間を求めていきます。

\(W\) は

でした。 これを先ほどの確率区間に代入します。

これが、 母分散 \(\sigma^2\) の \(1-\alpha\) 信頼区間 です。

ここで、 境界値の位置が入れ替わっている点にも注意しましょう。

母分散の区間推定を3つの手順で整理する

母分散の区間推定では、 公式をそのまま覚えるよりも、

「偏差平方和 → カイ二乗分布 → 確率区間 → \(\sigma^2\) について整理」

という流れで理解しておくと、 式の意味を追いやすくなります。