仮説検定の構造

仮説検定の構造を図で理解する

前のレクチャーでは、 仮説検定の考え方を言葉で整理しました。

今回はさらに一歩進んで、 仮説検定の構造を確率分布の図で確認 していきます。

まず押さえておきたいのが、 図の横軸です。

検定統計量とは、 帰無仮説を検定するために、標本から計算する統計量 です。

実は、 区間推定でも似た計算をしてきました。

図の縦軸は確率密度です。 つまり、 検定統計量がどの値をとりやすいか を分布として表しています。

帰無仮説 \(H_0\) と対立仮説 \(H_1\)

仮説検定で最初に考えるのは、 前のレクチャーでも確認した 帰無仮説 \(H_0\) です。

一方、 帰無仮説と対立する仮説を 対立仮説 \(H_1\) と呼びます。

対立仮説は英語で alternative hypothesis と呼ばれ、 帰無仮説に代わる仮説という位置づけです。

仮説検定では、 まず帰無仮説 \(H_0\) を定め、 その帰無仮説を棄却できるかどうか を検討します。

有意水準 \(\alpha\) と棄却域を決める

帰無仮説 \(H_0\) を定めたら、 次に考えるのが 有意水準 \(\alpha\) です。

有意水準は、 帰無仮説が正しいとした場合に 「これほど起こりにくければ、帰無仮説を疑おう」 と判断する基準となる確率です。

有意水準には、

そして、 この有意水準に対応する 検定統計量の境界値 を求めます。

この境界よりも 起こりにくい側を 棄却域 と呼びます。

一方、 境界よりも起こりやすい側は、 このレクチャーでは 棄却しない領域（受容域） と呼びます。

標本から検定統計量の実現値を計算する

ここまでで、 帰無仮説と有意水準、 そして棄却域を設定できました。

次に、 実際に観測された標本データから 検定統計量 を計算します。

標本から実際に計算された 検定統計量の具体的な値を、 検定統計量の実現値 と呼びます。

あとは、 この実現値が 棄却域に入るかどうか を確認します。

第1種の過誤｜正しい \(H_0\) を棄却してしまう

ここで重要なのが、 仮説検定には 誤った判断をしてしまう可能性 があることです。

まず、 帰無仮説 \(H_0\) が 本当は正しいとします。

それでも、 確率 \(\alpha\) の領域に 偶然データが入ることはあります。

このとき、 本当は帰無仮説が正しいにもかかわらず、 実現値が棄却域に入ったために 誤って帰無仮説を棄却 してしまいます。

第2種の過誤｜誤った \(H_0\) を棄却できない

反対方向の誤りもあります。

今度は、 帰無仮説 \(H_0\) が正しくなく、 対立仮説 \(H_1\) の世界が正しい と考えます。

ところが、 対立仮説の分布にも、 帰無仮説の棄却しない領域と重なる部分があります。

この \(\beta\) の領域に実現値が入ると、 本当は対立仮説の世界が正しいにもかかわらず、 帰無仮説を棄却できません。

「棄却されなかった」＝「正しい」ではない

第2種の過誤を考えると、 仮説検定で非常に重要な注意点が見えてきます。

検定統計量の実現値が 棄却域に入らなかった場合、 帰無仮説は 棄却されません。

しかし、 だからといって

と考えることはできません。

なぜなら、 対立仮説が正しい世界でも、 確率 \(\beta\) で 棄却しない領域にデータが入る可能性があるからです。

特に、 \(\beta\) は有意水準 \(\alpha\) のように 検定手続きの中で直接設定される値ではありません。

そのため、 帰無仮説が棄却されなかった場合には、 「帰無仮説が正しい」と強く主張しない ことが大切です。

仮説検定の構造を1枚で整理する

最後に、 ここまで見てきた要素を 1つの図にまとめます。