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母平均の仮説検定
正規母集団から得られた1つの標本を使って、母平均 \(\mu\) に関する仮説検定を行う方法を学びます。帰無仮説・対立仮説を設定し、母分散が既知の場合は標準正規分布、未知の場合はt分布を使って、帰無仮説を棄却するかどうかを判断します。
このページのゴール
母平均に関する帰無仮説と対立仮説を設定し、母分散が既知・未知の場合それぞれについて検定統計量と棄却域を求め、仮説検定を実行できるようになる。
STEP 01
1標本問題として母平均を検定する
ここからは、
具体的な仮説検定の方法を見ていきます。
まず扱うのは、
1つの母集団から得られた1つの標本を使う
1標本問題
です。
今回は、
正規母集団
\[
X\sim N(\mu,\sigma^2)
\]
の
母平均 \(\mu\)
について仮説検定を行います。
考え方は、
ここまで学んできた
母平均の区間推定
とよく似ています。
区間推定とのつながり
標本平均がどんな分布にしたがうか整理する
↓
z または t が使える形にする
↓
確率を使って判断する
ただし仮説検定では、
この流れに入る前に
仮説を設定する
という作業が加わります。
今回のテーマ
区間推定で学んだ標本分布を使って、
母平均についての帰無仮説を検定する。
STEP 02
手順0：帰無仮説と対立仮説を設定する
仮説検定では、
分布を整理する前に、
まず
帰無仮説 \(H_0\)
と
対立仮説 \(H_1\)
を設定します。
このレクチャーでは、
母平均 \(\mu\) が
ある具体的な値 \(\mu_0\) である、
という帰無仮説を考えます。
たとえば、
ある製品の寸法誤差について
\[
H_0:\mu=0
\]
と設定すれば、
「平均的には寸法誤差がない」
という世界を帰無仮説として考えることになります。
そして、
その帰無仮説と対立する世界を
対立仮説として設定します。
両側検定
\[
H_1:\mu\neq\mu_0
\]
右片側検定
\[
H_1:\mu>\mu_0
\]
左片側検定
\[
H_1:\mu<\mu_0
\]
手順0
まず帰無仮説 \(H_0\) と対立仮説 \(H_1\) を設定する。
ここが仮説検定の出発点。
STEP 03
両側検定と片側検定では棄却域が違う
対立仮説をどのように設定するかによって、
棄却域を置く場所
が変わります。
有意水準 \(\alpha=0.05\) の例
\(H_1:\mu\neq\mu_0\) ｜ 両側検定
\(H_1:\mu>\mu_0\) ｜ 右片側検定
\(H_1:\mu<\mu_0\) ｜ 左片側検定
今回はまず、
対立仮説を
\[
H_1:\mu\neq\mu_0
\]
とした
両側検定
を中心に考えていきます。
違い
両側検定なら左右に \(\alpha/2\) ずつ、
片側検定なら片側に \(\alpha\) を置く。
STEP 04
手順1：帰無仮説のもとで標本平均の分布を整理する
帰無仮説と対立仮説を設定したら、
ここからは区間推定と同じように、
何がどんな分布にしたがうか
を整理します。
帰無仮説は
\[
H_0:\mu=\mu_0
\]
でした。
つまり仮説検定では、
母平均が \(\mu_0\) である世界
を仮定して考えます。
正規母集団からサンプルサイズ \(n\) の標本を取り出したとき、
標本平均 \(\bar X\) は、
\[
\bar X
\sim
N\left(
\mu_0,\;
\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
にしたがいます。
平均が \(\mu_0\) なのがポイント
普段なら
\(\bar X\) の平均は \(\mu\) ですが、
今回は帰無仮説として
\(\mu=\mu_0\)
の世界を仮定しているため、
標本平均の分布の平均も \(\mu_0\) になります。
手順1
帰無仮説 \(H_0:\mu=\mu_0\) のもとで、
標本平均 \(\bar X\) の分布を整理する。
STEP 05
母分散が既知の場合｜手順2：zに標準化する
まず、
母分散 \(\sigma^2\) が
既知
の場合を考えます。
手順1で、
\[
\bar X
\sim
N\left(
\mu_0,\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
と整理できました。
そこで、
標本平均から平均 \(\mu_0\) を引き、
標準偏差で割って標準化します。
\[
Z
=
\frac{\bar X-\mu_0}
{\sigma/\sqrt n}
\sim N(0,1)
\]
この
\(Z\)
が、
仮説検定では
検定統計量
になります。
検定統計量とは
標本から実際に計算できる値
↓
帰無仮説を棄却するか判断するために使う
手順2
母分散が既知なら、
\(Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\)
を検定統計量として使う。
STEP 06
手順3：有意水準を決めて棄却域をつくる
検定統計量 \(Z\) が
標準正規分布にしたがう形まで整理できたので、
次は
有意水準 \(\alpha\)
を決めます。
ここでは、
\[
\alpha=0.05
\]
とします。
今回の対立仮説は
\[
H_1:\mu\neq\mu_0
\]
なので、
両側検定
です。
したがって、
有意水準5%を左右に半分ずつ分けます。
標準正規分布の上側2.5%点は、
\[
z_{0.025}\approx1.96
\]
なので、
棄却域は
\[
|Z|\ge z_{0.025}
\]
95%両側検定なら
\[
|Z|\ge1.96
\]
手順3
両側5%検定では、
左右2.5%ずつを棄却域にする。
STEP 07
検定統計量の実現値が棄却域に入るかを見る
あとは、
実際の標本データから
検定統計量 \(Z\) を計算します。
\[
z_{\mathrm{obs}}
=
\frac{\bar x-\mu_0}
{\sigma/\sqrt n}
\]
\(z_{\mathrm{obs}}\) は、
実際に観測された標本データから計算した
検定統計量 \(Z\) の具体的な値
を表します。
この具体的な値を
検定統計量の実現値
と呼びます。
つまり、
\(Z\) は検定統計量という
確率変数
であり、
実際の標本を代入して得られた
\(z_{\mathrm{obs}}\) が、
今回のデータで観測された
実現値
という関係です。
\(Z\)
検定統計量
確率変数
\(z_{\mathrm{obs}}\)
実際に計算された値
実現値
そして、
この実現値が
棄却域に入るかどうか
を確認します。
実現値がどこに入るかで判定する
図では、
\(z_{\mathrm{obs}}\) が右側の棄却域に入った例を示しています。
実現値が棄却域に入る
→ 帰無仮説 \(H_0\) を棄却する
実現値が棄却域に入らない
→ 帰無仮説 \(H_0\) を棄却しない
帰無仮説を棄却できた場合には、
対立仮説を支持する方向の証拠が得られた
と考えます。
判定
\(Z\) は検定統計量、
\(z_{\mathrm{obs}}\) はその実現値。
実現値が棄却域に入るかどうかで、
帰無仮説を棄却するか判断する。
STEP 08
片側検定なら上側5%点を使う
ここまでは、
対立仮説を
\[
H_1:\mu\neq\mu_0
\]
とした両側検定を見てきました。
一方、
\[
H_1:\mu>\mu_0
\]
のように、
大きい側だけを考える場合には、
右側だけに有意水準5%を置きます。
この場合は、
上側5%点を使って
\[
Z\ge z_{0.05}
\]
となる領域を棄却域にします。
整理
両側検定：左右に \(\alpha/2\) ずつ
右片側検定：右側に \(\alpha\)
左片側検定：左側に \(\alpha\)
STEP 09
母分散が未知の場合｜t分布を使う
次に、
母分散 \(\sigma^2\) が
未知
の場合を考えます。
母分散がわからないので、
標本から計算した
不偏分散 \(\hat\sigma^2\)
を使います。
\[
\hat\sigma^2
=
\frac{1}{n-1}
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2
\]
このとき、
検定統計量は
\[
T
=
\frac{\bar X-\mu_0}
{\hat\sigma/\sqrt n}
\sim t(n-1)
\]
となります。
つまり、
母分散が未知の場合には、
標準正規分布ではなく
自由度 \(n-1\) のt分布
を使います。
母分散が既知
\(Z\) → 標準正規分布
母分散が未知
\(T\) → 自由度 \(n-1\) のt分布
母分散が未知なら
\(\sigma\) を \(\hat\sigma\) で置き換え、
t分布を使って検定する。
STEP 10
t検定でも判定の流れは同じ
t分布を使う場合でも、
仮説検定の流れそのものは変わりません。
両側5%検定なら、
自由度 \(n-1\) のt分布について
上側2.5%点
\[
t_{0.025}(n-1)
\]
を付表から探します。
そして、
棄却域は
\[
|T|
\ge
t_{0.025}(n-1)
\]
です。
z検定とt検定の共通する流れ
仮説を設定
↓
検定統計量を計算
↓
有意水準から棄却域を設定
↓
実現値が棄却域に入るか判定
ここがポイント
zを使うかtを使うかは違っても、
仮説検定の手順そのものは同じ。
STEP 11
母平均の仮説検定を4つの手順で整理する
手順0
帰無仮説と対立仮説を設定
\[
H_0:\mu=\mu_0
\]
\[
H_1:\mu\neq\mu_0
\]
↓
手順1
標本平均の分布を整理
\[
\bar X
\sim
N\left(
\mu_0,\frac{\sigma^2}{n}
\right)
\]
↓
手順2
検定統計量へ変換
\[
Z=
\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}
\]
または
\[
T=
\frac{\bar X-\mu_0}{\hat\sigma/\sqrt n}
\]
↓
手順3
有意水準から棄却域を設定し、
実現値が入るか判定
最後の棄却域だけを覚えるのではなく、
帰無仮説を立てた世界から順番に考える
ことが大切です。
最後に
仮説設定 → 分布 → 検定統計量 → 棄却域。
区間推定で身につけた流れを、
仮説検定へつなげて考える。
SUMMARY
母平均の仮説検定を整理する
手順0
仮説を設定
\(H_0:\mu=\mu_0\)
\(H_1:\mu\neq\mu_0\)
手順1
帰無仮説のもとで
標本平均の分布
を整理する
母分散による使い分け
母分散が既知
\[
Z=
\frac{\bar X-\mu_0}
{\sigma/\sqrt n}
\sim N(0,1)
\]
母分散が未知
\[
T=
\frac{\bar X-\mu_0}
{\hat\sigma/\sqrt n}
\sim t(n-1)
\]
両側5%検定なら
\[
|Z|\ge z_{0.025}
\]
または
\[
|T|\ge t_{0.025}(n-1)
\]
この領域に検定統計量の実現値が入れば、
帰無仮説を棄却する。
特に注意する3点
① 仮説検定では最初に \(H_0,H_1\) を設定する
② 両側検定と片側検定では棄却域が異なる
③ 母分散が既知ならz、未知ならtを使う
最後に
帰無仮説 \(H_0\) の世界を仮定し、
その世界では起こりにくいほど極端な
検定統計量が観測されたかどうかを調べる。
これが母平均の仮説検定の基本構造。
NEXT STEP
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