41
母分散・母比率の仮説検定
1標本問題として、母分散と母比率に関する仮説検定を学びます。母分散ではカイ二乗分布、母比率では大標本における正規近似を利用し、検定統計量が棄却域に入るかどうかから帰無仮説を判断します。
このページのゴール
母分散・母比率について帰無仮説を設定し、それぞれカイ二乗分布・標準正規分布を使った検定統計量と棄却域を求め、仮説検定を実行できるようになる。
STEP 01
母分散と母比率の仮説検定を見ていく
このレクチャーでは、
引き続き1標本問題の仮説検定として、
母分散の仮説検定
と
母比率の仮説検定
を見ていきます。
基本的な考え方は、
ここまで学んできた区間推定と共通しています。
仮説検定でも基本の流れは同じ
手順0
帰無仮説・対立仮説を設定
↓
手順1
何がどんな分布にしたがうか整理
↓
手順2
検定統計量が既知の分布にしたがう形へ
↓
手順3
棄却域に入るか判定
違いは、
区間推定では母数の
信頼区間
を求めていたのに対し、
仮説検定では帰無仮説のもとで
観測された値がどれほど極端か
を見る点です。
今回も
「何がどんな分布にしたがうか」
を起点に考える。
STEP 02
母分散｜手順0：帰無仮説を設定する
まずは、
母分散 \(\sigma^2\)
に関する仮説検定です。
前提として、
母集団は正規分布にしたがう
正規母集団
とします。
帰無仮説では、
母分散を具体的な値
\(\sigma_0^2\)
に固定します。
帰無仮説
\[
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2
\]
対立仮説
\[
H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2
\]
今回は、
母分散が \(\sigma_0^2\) より大きい場合も小さい場合も考える
両側検定
とします。
片側だけを問題にする場合には、
\[
H_1:\sigma^2>\sigma_0^2
\]
または
\[
H_1:\sigma^2<\sigma_0^2
\]
のように設定することもできます。
手順0
まず
\(\sigma^2=\sigma_0^2\)
という具体的な世界を帰無仮説として設定する。
STEP 03
母分散｜手順1：正規母集団から標本を考える
帰無仮説
\[
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2
\]
が正しい世界を考えます。
正規母集団から
サンプルサイズ \(n\) の標本
\[
X_1,\ldots,X_n
\sim
N(\mu,\sigma_0^2)
\]
を得たとします。
正規母集団から標本を抽出
帰無仮説のもとでは
母分散が
\(\sigma_0^2\)
母分散を検定したいので、
次は標本の
ばらつき
に注目します。
STEP 04
母分散｜手順2：カイ二乗分布が使える形にする
正規母集団の母分散を扱うときに登場するのが、
カイ二乗分布
でした。
標本平均 \(\bar X\) からの偏差平方和を使うと、
帰無仮説のもとで
\[
\chi^2
=
\frac{
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2
}{
\sigma_0^2
}
\]
と整理できます。
不偏分散
\[
\hat\sigma^2
=
\frac{1}{n-1}
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2
\]
を使えば、
\[
\chi^2
=
\frac{
(n-1)\hat\sigma^2
}{
\sigma_0^2
}
\sim
\chi^2(n-1)
\]
となります。
なぜ自由度は \(n-1\)？
偏差を母平均 \(\mu\) ではなく
標本平均 \(\bar X\)
から計算する
↓
自由度を1つ使う
↓
自由度 \(n-1\)
そして、
この
\(\chi^2\)
が母分散の仮説検定における
検定統計量
です。
手順2
\[
\chi^2
=
\frac{(n-1)\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}
\sim\chi^2(n-1)
\]
と整理する。
STEP 05
母分散｜手順3：カイ二乗分布の両端を棄却域にする
検定統計量が
自由度 \(n-1\) のカイ二乗分布にしたがう形まで整理できました。
ここでは、
有意水準を
\[
\alpha=0.05
\]
とします。
今回は両側検定なので、
左右に2.5%ずつの棄却域を設定します。
カイ二乗分布の両側5%を棄却域にする
これまで使ってきた
上側％点
の記法なら、
左側の境界は
\[
\chi^2_{0.975}(n-1)
\]
右側の境界は
\[
\chi^2_{0.025}(n-1)
\]
です。
\[
\chi^2
\le
\chi^2_{0.975}(n-1)
\]
または
\[
\chi^2
\ge
\chi^2_{0.025}(n-1)
\]
となれば、
検定統計量は棄却域に入っています。
手順3
カイ二乗分布は左右非対称なので、
左右それぞれの％点から棄却域を設定する。
STEP 06
母分散｜検定統計量の実現値を計算して判定する
最後に、
実際の標本から求めた不偏分散を使って、
検定統計量の実現値を計算します。
\[
\chi^2_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
(n-1)\hat\sigma^2
}{
\sigma_0^2
}
\]
\(\chi^2_{\mathrm{obs}}\)
は、実際の標本から計算した
カイ二乗検定統計量の実現値
を表します。
この値が、
左右いずれかの棄却域に入るかを確認します。
棄却域に入る
→ \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\) を棄却
棄却域に入らない
→ \(H_0\) を棄却しない
区間推定との違い
区間推定ではカイ二乗分布の中央部分から
母分散の信頼区間を求めました。
仮説検定では逆に、
外側の棄却域
に検定統計量が入るかを見ます。
STEP 07
母比率｜手順0：帰無仮説を設定する
続いて、
母比率 \(p\)
の仮説検定を見ていきます。
母比率についても、
まず帰無仮説で具体的な値を設定します。
今回も両側検定を考えます。
前提
母比率の検定では、
中心極限定理による正規近似を使うため、
サンプルサイズが十分に大きい
場合を扱います。
手順0
帰無仮説のもとでは、
成功確率は具体的な値
\(p_0\)
であると仮定する。
STEP 08
母比率｜手順1：二項分布から標本比率の分布へ
サンプルサイズ \(n\) の標本について、
成功回数を \(X\) とします。
帰無仮説
\(H_0:p=p_0\)
が正しいなら、
\[
X\sim\mathrm{Bin}(n,p_0)
\]
です。
0・1の和が成功回数になる
1
0
1
0
1
1
↓ 0・1を足し合わせる
成功回数 \(X\)
そして、
標本比率は
\[
\hat p=\frac{X}{n}
\]
です。
サンプルサイズが十分大きければ、
中心極限定理により、
\[
\hat p
\approx
N\left(
p_0,\;
\frac{p_0(1-p_0)}{n}
\right)
\]
手順1
帰無仮説のもとでは、
標本比率の平均も
\(p_0\)
になる。
STEP 09
母比率｜手順2：標本比率を標準化する
手順1で、
標本比率 \(\hat p\) の近似分布を整理できました。
次は、
標準正規分布の付表が使えるように標準化します。
\[
Z
=
\frac{
\hat p-p_0
}{
\sqrt{
p_0(1-p_0)/n
}
}
\approx
N(0,1)
\]
この \(Z\) が、
母比率の仮説検定で使う
検定統計量
です。
区間推定との違いに注目
母比率の区間推定では、
未知の \(p\) を
\(\hat p\) で近似して
\[
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
\]
を使いました。
一方、仮説検定では
帰無仮説として
\(p=p_0\)
を仮定しているため、
\[
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}
\]
を使います。
手順2
仮説検定では、
帰無仮説で定めた
\(p_0\)
を使って標準化する。
STEP 10
母比率｜手順3：標準正規分布から棄却域を決める
検定統計量 \(Z\) が
標準正規分布にしたがう形まで整理できました。
今回も、
有意水準を
\[
\alpha=0.05
\]
とします。
対立仮説は
\[
H_1:p\neq p_0
\]
なので両側検定です。
左右2.5%ずつを棄却域にする
\[
|Z|
\ge
z_{0.025}
\]
95%両側検定なら
\[
|Z|\ge1.96
\]
実際の標本比率 \(\hat p\) を代入して、
\[
z_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
\hat p-p_0
}{
\sqrt{
p_0(1-p_0)/n
}
}
\]
を計算し、
この実現値が棄却域に入るかを確認します。
手順3
\(z_{\mathrm{obs}}\) が棄却域に入れば、
\(H_0:p=p_0\)
を棄却する。
STEP 11
母分散と母比率の検定を並べて整理する
母分散の仮説検定
手順0
\[
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2
\]
↓
手順1・2
\[
\chi^2
=
\frac{(n-1)\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}
\sim\chi^2(n-1)
\]
↓
手順3
カイ二乗分布の両端と比較
母比率の仮説検定
手順0
\[
H_0:p=p_0
\]
↓
手順1
\[
\hat p
\approx
N\left(
p_0,
\frac{p_0(1-p_0)}{n}
\right)
\]
↓
手順2
\[
Z
=
\frac{\hat p-p_0}
{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
\]
↓
手順3
標準正規分布の棄却域と比較
共通していること
使う分布は違っても、
「仮説を立てる → 分布を整理する → 検定統計量をつくる → 棄却域と比較する」
という流れは同じ。
SUMMARY
母分散・母比率の仮説検定を整理する
手順0
母数について
具体的な帰無仮説
を設定する
手順1
帰無仮説のもとで
何がどんな分布にしたがうか
を整理
手順3
有意水準から
棄却域
を決め、実現値と比較
母分散の検定
\[
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2
\]
\[
\chi^2
=
\frac{
(n-1)\hat\sigma^2
}{
\sigma_0^2
}
\sim
\chi^2(n-1)
\]
両側5%検定なら、
カイ二乗分布の左右2.5%ずつを棄却域にする。
母比率の検定
\[
H_0:p=p_0
\]
\[
X\sim\mathrm{Bin}(n,p_0)
\]
\[
Z
=
\frac{
\hat p-p_0
}{
\sqrt{p_0(1-p_0)/n}
}
\approx N(0,1)
\]
両側5%検定なら、
\(|Z|\ge1.96\)
が棄却域。
区間推定との対応
母分散
→ カイ二乗分布
母比率
→ 大標本で正規近似
使う標本分布は区間推定と同じ。
仮説検定では、
帰無仮説で母数を具体的に固定し、その世界で観測値がどれだけ極端かを見る。
最後に
母平均・母分散・母比率で式は変わっても、
仮説検定の構造は共通。
だからこそ、
「何がどんな分布にしたがうか」
を理解しておくことが最も重要。
NEXT STEP
次のステップ：統計検定®2級を目指す
このサイトで統計学の基礎を学んだあと、
統計検定®2級の合格まで体系的に学びたい方へ。
統計検定®2級対策講座【ベストセラー版】
約9時間の動画講義と200問以上の小テストに加えて、
模擬試験にも取り組めます。
講座内ではQ&Aも利用でき、
これまでに400問以上の質問に回答してきました。
約9時間の動画講義
200問以上の小テスト
模擬試験
400問以上のQ&A
統計検定®2級対策講座を見る
資格試験ではなく、統計学そのものを動画で学びたい方へ
記述統計・確率・推定・検定を基礎から学ぶ
「統計学ベーシック講座その１『確率分布・推定・検定』」
も用意しています。
統計学ベーシック講座を見る →